Mediana to jedno z podstawowych pojęć w statystyce. Pojawia się już w szkole podstawowej i często w życiu codziennym (np. „mediana zarobków w kraju”, „mediana wieku mieszkańców”). W tym artykule wyjaśnimy krok po kroku, jak obliczyć medianę, czym różni się od średniej arytmetycznej oraz jak radzić sobie z różnymi typami danych.
Co to jest mediana? (definicja intuicyjna)
Wyobraź sobie, że ustawiasz ludzi w kolejce według wzrostu – od najniższego do najwyższego. Mediana to wzrost osoby stojącej dokładnie pośrodku tej kolejki.
- Połowa osób jest niższa (ma mniejszą wartość cechy).
- Połowa osób jest wyższa (ma większą wartość cechy).
Formalnie, mediana to taka wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe (lub prawie równe) części.
Mediana a średnia – podstawowa różnica
Często mylimy medianę ze średnią arytmetyczną. To dwa różne pojęcia:
- Średnia arytmetyczna – „typowa” wartość wyliczona jako suma wszystkich liczb podzielona przez ich ilość.
- Mediana – środkowa wartość po uporządkowaniu danych.
Mediana jest odporna na wartości skrajne. Jeśli w grupie zarobków większość osób zarabia 4000–5000 zł, a jedna osoba 100 000 zł, to:
- Średnia będzie „ciągnięta w górę” przez 100 000 zł.
- Mediana pozostanie bliższa typowym zarobkom większości osób.
Formalna definicja mediany
Załóżmy, że mamy zbiór danych liczbowych:
\( x_1, x_2, \dots, x_n \)
Najpierw porządkujemy dane niemalejąco (od najmniejszej do największej) i oznaczamy je jako:
\( x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)} \)
Medianę oznaczamy zazwyczaj jako \( Me \) lub \( \tilde{x} \).
Przypadek 1: nieparzysta liczba obserwacji
Jeśli liczba danych \( n \) jest nieparzysta, to mediana to element dokładnie w środku:
\[ Me = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \]
Czyli: bierzemy „środkowy” element po uporządkowaniu danych.
Przypadek 2: parzysta liczba obserwacji
Jeśli liczba danych \( n \) jest parzysta, to nie ma jednego środkowego elementu – są dwa środkowe. Wtedy medianą jest średnia arytmetyczna tych dwóch środkowych wartości:
\[ Me = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \]
Jak obliczyć medianę – schemat krok po kroku
- Zapisz wszystkie dane (liczby) w jednym miejscu.
- Uporządkuj dane rosnąco (od najmniejszej do największej).
- Sprawdź liczbę danych – jest parzysta czy nieparzysta?
- Jeśli liczba danych jest:
- nieparzysta – weź środkowy element,
- parzysta – weź dwie środkowe liczby i policz ich średnią.
Przykład 1 – nieparzysta liczba danych
Oblicz medianę zbioru:
\( 3,\ 7,\ 2,\ 9,\ 5 \)
Krok 1: uporządkuj dane
Porządkujemy liczby rosnąco:
\( 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9 \)
Krok 2: policz liczbę elementów
Mamy \( n = 5 \) elementów, czyli liczba nieparzysta.
Krok 3: wyznacz indeks elementu środkowego
Stosujemy wzór:
\[ \text{indeks} = \frac{n+1}{2} = \frac{5+1}{2} = 3 \]
Trzeci element w uporządkowanym ciągu to \( 5 \). Zatem:
\[ Me = 5 \]
Przykład 2 – parzysta liczba danych
Oblicz medianę zbioru:
\( 4,\ 1,\ 7,\ 3 \)
Krok 1: uporządkuj dane
\( 1,\ 3,\ 4,\ 7 \)
Krok 2: policz liczbę elementów
Mamy \( n = 4 \) – liczba parzysta.
Krok 3: znajdź dwa środkowe elementy
Środkowe indeksy to:
\[ \frac{n}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{i} \quad \frac{n}{2} + 1 = 3 \]
Czyli bierzemy 2. i 3. element: \( 3 \) i \( 4 \).
Krok 4: policz ich średnią
\[ Me = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \]
Mediana tego zbioru to \( 3{,}5 \).
Porządkowanie danych – dlaczego jest konieczne?
Bez uporządkowania danych nie da się określić, co leży „pośrodku”. Spójrz na prostą tabelę:
| Pozycja | Dane nieuporządkowane | Dane uporządkowane |
|---|---|---|
| 1 | 7 | 2 |
| 2 | 2 | 5 |
| 3 | 9 | 7 |
Mediany szukamy tylko w kolumnie „Dane uporządkowane”, bo dopiero tam 2. element jest rzeczywiście „środkowy”.
Jak obliczyć medianę – różne typy danych
1. Mediana z liczb całkowitych
Postępujemy dokładnie tak jak w przykładach powyżej. Wynik może być liczbą całkowitą lub ułamkiem (gdy liczba danych jest parzysta).
2. Mediana z liczb rzeczywistych (np. z przecinkami)
Gdy dane mają przecinki (np. 2,4 lub 3,75), procedura jest identyczna:
- Uporządkować dane rosnąco.
- Sprawdzić, czy liczba obserwacji jest parzysta czy nieparzysta.
- Wybrać środkową liczbę lub średnią dwóch środkowych.
Przykład:
Dane: \( 2{,}4;\ 1{,}8;\ 3{,}0;\ 2{,}9 \)
Uporządkowane: \( 1{,}8;\ 2{,}4;\ 2{,}9;\ 3{,}0 \)
\( n = 4 \) – liczba parzysta, więc:
\[ Me = \frac{2{,}4 + 2{,}9}{2} = \frac{5{,}3}{2} = 2{,}65 \]
3. Mediana z liczb powtarzających się
Powtórzenia nie są problemem – nadal stosujemy te same zasady.
Przykład:
Dane: \( 5,\ 5,\ 1,\ 5,\ 2 \)
Uporządkowane: \( 1,\ 2,\ 5,\ 5,\ 5 \)
\( n = 5 \) – liczba nieparzysta, element środkowy (3.) to \( 5 \). Zatem:
\[ Me = 5 \]
Mediana – prosty kalkulator (JavaScript)
Poniżej znajdziesz prosty kalkulator mediany. Wpisz liczby oddzielone przecinkami, np. 3,7,2,9,5, a skrypt obliczy medianę za Ciebie.
Ćwiczenia – spróbuj samodzielnie
Sprawdź, czy rozumiesz, jak obliczać medianę. Spróbuj najpierw policzyć ręcznie, a potem porównaj wynik z kalkulatorem.
- Oblicz medianę zbioru: \( 8,\ 2,\ 5,\ 1,\ 4 \).
- Oblicz medianę zbioru: \( 10,\ 4,\ 6,\ 2 \).
- Oblicz medianę zbioru: \( 3{,}5;\ 2{,}0;\ 4{,}5;\ 1{,}5;\ 2{,}5;\ 3{,}0 \).
Dla każdego zadania:
- uporządkuj dane rosnąco,
- określ, czy \( n \) jest parzyste czy nieparzyste,
- zastosuj odpowiedni wzór na medianę.
Podsumowanie – najważniejsze informacje
- Mediana to wartość środkowa po uporządkowaniu danych.
- Zawsze zaczynaj od uporządkowania liczb rosnąco.
- Gdy liczba danych \( n \) jest:
- nieparzysta: \[ Me = x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} \]
- parzysta: \[ Me = \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} \]
- Mediana jest odporna na wartości skrajne i często lepiej opisuje „typową” wartość niż średnia arytmetyczna.
Znając te zasady i korzystając z prostego kalkulatora mediany, bez trudu poradzisz sobie z zadaniami typu „jak obliczyć medianę” w szkole i w praktycznych zastosowaniach.