Delta pojawia się zawsze, gdy w grę wchodzi równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Bez względu na to, czy chodzi o zadanie z podręcznika, egzamin ósmoklasisty czy maturę – wzór na deltę jest tu podstawowym narzędziem. Dobra wiadomość: raz porządnie zrozumiony, działa zawsze tak samo. Wystarczy wiedzieć, co wstawić, jak policzyć krok po kroku i jak potem zinterpretować wynik. Poniżej gotowy schemat postępowania z praktycznymi przykładami.
Co to jest delta i kiedy się jej używa?
Delta to liczba, która mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe i jakie one będą. Jest związana z równaniem w postaci:
a x2 + b x + c = 0, gdzie a ≠ 0.
Litery a, b, c to współczynniki równania, czyli po prostu liczby, które stoją przy kolejnych potęgach x. Delta jest zdefiniowana wzorem:
Δ = b2 − 4ac
Po policzeniu delty można z góry powiedzieć, ile pierwiastków ma równanie:
- Δ > 0 – dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
- Δ = 0 – jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny),
- Δ < 0 – brak pierwiastków rzeczywistych (tylko zespolone).
W praktyce szkolnej zazwyczaj pracuje się na liczbach rzeczywistych, więc ujemna delta oznacza po prostu: „równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych”.
Wzór na deltę – co oznaczają a, b, c?
Żeby poprawnie obliczyć deltę, najpierw trzeba dobrze odczytać współczynniki a, b i c. Wszystko zaczyna się od zapisania równania w postaci ogólnej:
a x2 + b x + c = 0
Każde równanie kwadratowe trzeba najpierw do takiej postaci doprowadzić. Często wymaga to przeniesienia wyrazów na jedną stronę i uproszczenia.
Jak poprawnie wyznaczyć a, b, c?
Przykład: dane jest równanie 2x2 − 3x + 5 = 0.
Tutaj wszystko jest już w postaci ogólnej, więc:
a = 2, b = −3, c = 5.
W drugim przykładzie: 5 = x2 + 4x. To jeszcze nie jest postać ogólna. Najpierw trzeba przenieść wszystko na jedną stronę:
x2 + 4x − 5 = 0
Teraz dopiero można odczytać współczynniki:
a = 1 (bo przy x2 jest „domyślna” jedynka), b = 4, c = −5.
Warto zwrócić uwagę na znaki. Minus przy liczbie jest częstszym źródłem błędów niż same obliczenia. Jeżeli przy x2 stoi np. −3, to a = −3, a nie 3.
Kiedy równanie wcale nie jest kwadratowe?
Zdarzają się zadania, w których po przekształceniu okazuje się, że współczynnik a = 0. Wtedy równanie przestaje być kwadratowe i nie używa się delty.
Przykład: 0·x2 + 5x − 7 = 0 to tak naprawdę zwykłe równanie liniowe 5x − 7 = 0. Tutaj delta nie ma sensu.
Dlatego przed liczeniem delty dobrze jest zawsze zerknąć, czy rzeczywiście przy x2 stoi liczba różna od zera.
Jeżeli a = 0, równanie nie jest kwadratowe – delty się nie liczy, tylko rozwiązuje je inną, prostszą metodą.
Jak obliczyć deltę krok po kroku
Po poprawnym odczytaniu współczynników a, b, c można spokojnie przejść do liczenia delty. Najwygodniej trzymać się jednego, powtarzalnego schematu.
- Zapisać równanie w postaci a x2 + b x + c = 0.
- Wypisać współczynniki: a = …, b = …, c = ….
- Wpisać liczby do wzoru Δ = b2 − 4ac.
- Najpierw policzyć b2.
- Potem policzyć 4ac razem ze znakiem.
- Na końcu wykonać odejmowanie: Δ = b2 − 4ac.
Prosty przykład – równanie z małymi liczbami
Równanie: x2 − 5x + 6 = 0.
Najpierw współczynniki:
a = 1, b = −5, c = 6.
Teraz delta:
Δ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 1 · 6
(−5)2 = 25, więc:
Δ = 25 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
Delta wyszła dodatnia (1 > 0), więc równanie będzie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
W następnym kroku można od razu policzyć pierwiastki ze wzorów kwadratowych:
x1 = (−b − √Δ) / (2a), x2 = (−b + √Δ) / (2a).
Tu: √Δ = √1 = 1, a = 1, b = −5, więc:
x1 = (−(−5) − 1) / 2 = (5 − 1)/2 = 4/2 = 2
x2 = (−(−5) + 1) / 2 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3
Ostatecznie: x1 = 2, x2 = 3.
Delta dla większych liczb i ułamków
Przykład trochę mniej wygodny liczbowo:
2x2 + 7x − 3 = 0
Współczynniki:
a = 2, b = 7, c = −3.
Delta:
Δ = b2 − 4ac = 72 − 4 · 2 · (−3)
72 = 49, a −4 · 2 · (−3) = −8 · (−3) = 24, więc:
Δ = 49 + 24 = 73
Tym razem wyszła liczba większa od zera, ale bez ładnego pierwiastka (√73 to liczba niewymierna). Wciąż jednak wiadomo, że:
- równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste,
- będą one miały postać z pierwiastkiem: x = (−7 ± √73) / 4.
Przy ułamkach postępuje się identycznie, ale opłaca się najpierw pozbyć ułamka, mnożąc równanie przez wspólny mianownik, tak żeby a, b, c były liczbami całkowitymi. Ułatwia to liczenie b2 i 4ac oraz zmniejsza ryzyko błędu.
Ile rozwiązań ma równanie? Interpretacja delty
Sama wartość delty to nie wszystko. Trzeba jeszcze wiedzieć, co z niej wynika.
Tu sprawdza się proste podsumowanie:
Δ > 0 – dwa różne pierwiastki rzeczywiste, liczona jest pierwiastkiem kwadratowym: √Δ, a potem podstawiana do wzorów:
x1 = (−b − √Δ) / (2a), x2 = (−b + √Δ) / (2a).
Δ = 0 – jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny):
x0 = −b / (2a).
Δ < 0 – brak pierwiastków rzeczywistych; w szkole najczęściej kończy się na stwierdzeniu typu „równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych”.
Delta a wykres funkcji kwadratowej
Równanie kwadratowe a x2 + b x + c = 0 jest ściśle związane z funkcją kwadratową f(x) = a x2 + b x + c. Rozwiązania równania to miejsca, w których wykres tej funkcji przecina oś OX.
W tym kontekście delta mówi:
- Δ > 0 – parabola przecina oś OX w dwóch punktach,
- Δ = 0 – parabola jest styczna do osi OX (styka się w jednym punkcie),
- Δ < 0 – parabola „wisi” nad osią OX lub leży pod nią, bez punktów przecięcia.
Jeżeli a > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę; jeżeli a < 0, ramiona są skierowane w dół. Delta w połączeniu ze znakiem a daje więc pełniejszy obraz: wiadomo, czy wykres przecina oś, ile razy i z której strony jest „otwarty”.
Ta interpretacja pomaga zwłaszcza przy zadaniach z geometrii analitycznej, gdzie często trzeba określić wzajemne położenie wykresu funkcji i osi czy innych prostych.
Typowe błędy przy liczeniu delty i jak ich uniknąć
Błędy przy delcie rzadko wynikają z trudnych obliczeń. Zwykle to drobne pomyłki w znakach albo pochopne działania.
Najczęstsze pomyłki krok po kroku
1. Zgubiony minus przy b
Przykład: b = −3, a ktoś podstawia do wzoru (3)2 zamiast (−3)2. W tym wypadku akurat wynik liczbowy jest ten sam (9), ale przy dalszych przekształceniach może się to zemścić, zwłaszcza przy liczeniu −b.
2. Błędne 4ac
Często mylone jest 4ac z (4a)c albo 4a + c. Trzeba pamiętać, że 4ac to jedno duże mnożenie: 4 · a · c. Dobrze jest policzyć je etapami (np. najpierw 4 · a, potem wynik pomnożyć przez c).
3. Zła kolejność działań
Zdarza się wpisanie do kalkulatora czegoś w rodzaju 72 − 4 · 2 = 3 · (−3), co zupełnie miesza porządek obliczeń. Najbezpieczniej liczyć „na sucho” na kartce, a kalkulator traktować jako wsparcie, a nie zastępstwo rozumowania.
4. Niewłaściwe odczytanie c
Jeżeli wyraz wolny jest po drugiej stronie równania i ktoś go źle przeniesie, zmienia się znak c. Np. z 5 staje się −5 lub odwrotnie, a to już potrafi diametralnie zmienić deltę.
- Zawsze najpierw doprowadzić równanie do postaci ogólnej.
- Zapisywać a, b, c w osobnej linii – z wyraźnymi znakami.
- Przy ujemnych liczbach zawsze używać nawiasów w potęgach: (−3)2.
Jeżeli wynik delty „nie pasuje” (np. wychodzi ujemna, a z rysunku widać dwa przecięcia z osią OX), warto cofnąć się o krok i jeszcze raz sprawdzić same współczynniki a, b, c oraz znaki.
Szybkie sposoby na sprawdzanie wyniku
Delta policzona, pierwiastki też – ale skąd wiadomo, że wszystko jest dobrze? Zamiast liczyć drugi raz od zera, można skorzystać z prostych metod kontrolnych.
Po pierwsze, można podstawić pierwiastki do równania. Jeżeli dla x = x1 i x = x2 lewa strona równania daje 0 (z małym błędem zaokrągleń przy pierwiastkach niewymiernych), wynik jest w porządku.
Po drugie, przy równaniach z „ładnymi” współczynnikami da się czasem rozłożyć trójmian na czynniki, np. x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Stąd od razu widać pierwiastki x = 2 i x = 3, co potwierdza wynik uzyskany przez deltę.
Po trzecie, sama delta może podpowiadać, czy wynik jest sensowny. Dla bardzo dużych wartości b i małych a, c delta powinna być raczej „spora”, bo dominuje w niej składnik b2. Jeżeli wyjdzie mała liczba lub coś ujemnego, warto zastanowić się, czy nie pomylono znaków.
Przy systematycznym stosowaniu tych prostych kontroli liczenie delty staje się mechaniczną, pewną procedurą, a nie loterią, w której „może wyjdzie, może nie”. Dzięki temu nawet dłuższe zadania z funkcją kwadratową przestają straszyć, bo wiadomo dokładnie, co i po kolei trzeba zrobić.