Geometria analityczna to dział matematyki łączący geometrię z algebrą. Zamiast rysować „na oko”, opisujemy punkty, proste i krzywe za pomocą liczb (współrzędnych) i równań. Dzięki temu możemy dokładnie liczyć długości, kąty czy położenie figur, korzystając z prostych wzorów.
Układ współrzędnych i pojęcie punktu
Podstawą geometrii analitycznej jest kartezjański układ współrzędnych w płaszczyźnie (tzw. układ \(xOy\)). Składa się on z:
- osi poziomej – osi \(x\),
- osi pionowej – osi \(y\),
- punktu przecięcia osi – początku układu, oznaczanego jako \(O(0,0)\).
Każdemu punktowi na płaszczyźnie przypisujemy dwie liczby: jego współrzędne \(x\) i \(y\). Zapis:
\( A(x_A, y_A) \)
oznacza punkt \(A\), który leży:
- \(x_A\) jednostek w prawo (jeśli dodatnie) lub w lewo (jeśli ujemne) od początku układu,
- \(y_A\) jednostek w górę (jeśli dodatnie) lub w dół (jeśli ujemne).
Przykład. Punkt \(A(3,2)\) leży 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę od początku układu. Punkt \(B(-2,-1)\) leży 2 jednostki w lewo i 1 jednostkę w dół.
Odcinki w układzie współrzędnych
Długość odcinka – wzór na odległość między punktami
Załóżmy, że mamy dwa punkty:
\( A(x_A, y_A), \quad B(x_B, y_B). \)
Długość odcinka \(AB\) obliczamy ze wzoru (pochodzącego z twierdzenia Pitagorasa):
\[
AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}.
\]
Skąd ten wzór?
Różnice \((x_B – x_A)\) i \((y_B – y_A)\) to odpowiednio „przesunięcie” poziome i pionowe między punktami \(A\) i \(B\). Tworzą one przyprostokątne trójkąta prostokątnego. Długość odcinka \(AB\) to przeciwprostokątna, więc z twierdzenia Pitagorasa:
\[
AB^2 = (x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 \quad \Rightarrow \quad AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}.
\]
Przykład. Oblicz długość odcinka łączącego punkty \(A(1,2)\) i \(B(4,6)\).
\[
AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5.
\]
Środek odcinka
Środek odcinka to punkt leżący dokładnie „w połowie drogi” między końcami odcinka. Dla punktów:
\( A(x_A, y_A), \quad B(x_B, y_B) \)
środek odcinka \(AB\), oznaczany często jako \(S\), ma współrzędne:
\[
S\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right).
\]
Dlaczego tak?
Średnia arytmetyczna dwóch liczb to „środek” między nimi na osi liczbowej. Analogicznie, bierzemy średnią współrzędnych \(x\) oraz średnią współrzędnych \(y\).
Przykład. Wyznacz środek odcinka o końcach \(A(2, -1)\) i \(B(6, 3)\).
\[
S\left( \frac{2+6}{2}, \frac{-1+3}{2} \right) = S\left( \frac{8}{2}, \frac{2}{2} \right) = S(4, 1).
\]
Podsumowanie wzorów dla odcinka
| Wielkość | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Długość odcinka \(AB\) | \( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \) | Odległość między punktami \(A(x_A,y_A)\) i \(B(x_B,y_B)\) |
| Środek odcinka \(AB\) | \( S\left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \) | Punkt w połowie drogi między \(A\) i \(B\) |
Prosty kalkulator odległości między punktami
Poniższy prosty kalkulator w JavaScript pomaga obliczyć długość odcinka między dwoma punktami \(A(x_A,y_A)\) i \(B(x_B,y_B)\) w geometrii analitycznej.
Oblicz długość odcinka AB
AB = –
Wektor przesunięcia między punktami (intuicja)
Między punktami \(A(x_A,y_A)\) i \(B(x_B,y_B)\) możemy rozpatrywać tzw. wektor przesunięcia \(\overrightarrow{AB}\), który ma współrzędne:
\[
\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A,\; y_B – y_A).
\]
Te same różnice pojawiają się w wzorze na długość odcinka – długość wektora \(\overrightarrow{AB}\) to właśnie odległość \(AB\). Wektory w geometrii analitycznej pomagają opisywać kierunki prostych i zmiany położenia.
Prosta w układzie współrzędnych
Jednym z podstawowych obiektów w geometrii analitycznej jest prosta. Najważniejsze informacje o prostej to zazwyczaj:
- jej kierunek (nachylenie do osi \(x\)),
- miejsce przecięcia z osiami,
- równanie prostej – związek między \(x\) i \(y\) dla punktów leżących na tej prostej.
Interpretacja współczynnika kierunkowego
Współczynnik kierunkowy prostej będziemy oznaczać przez \(a\). Intuicyjnie mówi on, jak zmienia się \(y\), gdy \(x\) zwiększa się o 1. Dokładniej:
\[
a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}
\]
dla dwóch różnych punktów \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\) leżących na tej prostej (pod warunkiem, że \(x_1 \neq x_2\)).
Przykład. Jeśli dla prostej przejście z punktu o \(x=1\) do punktu o \(x=3\) powoduje wzrost \(y\) o 4, to:
\[
a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{3-1} = \frac{4}{2} = 2.
\]
Oznacza to, że gdy \(x\) rośnie o 1, wartości \(y\) rosną średnio o 2.
Równania prostej – najważniejsze postacie
W geometrii analitycznej korzystamy z kilku postaci równania prostej. Wszystkie opisują tę samą prostą, ale są wygodne w różnych sytuacjach.
| Postać równania | Wzór | Kiedy wygodna |
|---|---|---|
| Ogólna | \( Ax + By + C = 0, \; (A,B \neq 0) \) | Uniwersalna forma, łatwa do przekształceń algebraicznych |
| Directionalno-przecięciowa („nachylenie i wyraz wolny”) | \( y = ax + b \) | Gdy znamy współczynnik kierunkowy \(a\) i miejsce przecięcia z osią \(y\) (\(b\)) |
| Przez punkt i współczynnik kierunkowy | \( y – y_0 = a(x – x_0) \) | Gdy znamy punkt \((x_0,y_0)\) na prostej i współczynnik \(a\) |
| Przez dwa punkty | \( y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1), \; x_1 \neq x_2 \) | Gdy znamy dwa różne punkty na prostej |
Równanie prostej w postaci ogólnej
Postać ogólna równania prostej:
\[
Ax + By + C = 0,
\]
gdzie \(A, B, C\) są pewnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym nie mogą jednocześnie być równe zero (zwykle zakładamy też, że \(A\) i \(B\) nie są oba równe zero naraz).
Przykład. Równanie:
\[
2x – 3y + 6 = 0
\]
opisuje pewną prostą na płaszczyźnie. Każda para \((x,y)\), która spełnia to równanie (po podstawieniu daje wynik 0), leży na tej prostej.
Równanie prostej w postaci kierunkowej \(y=ax+b\)
Postać:
\[
y = ax + b
\]
jest najbardziej intuicyjna. Współczynnik \(a\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie), a \(b\) to wyraz wolny – współrzędna \(y\) punktu przecięcia prostej z osią \(y\).
Interpretacja graficzna.
- Prosta rosnąca – jeśli \(a > 0\), gdy \(x\) rośnie, \(y\) też rośnie.
- Prosta malejąca – jeśli \(a < 0\), gdy \(x\) rośnie, \(y\) maleje.
- Prosta równoległa do osi \(x\) – jeśli \(a = 0\), wtedy \(y = b\) (pozioma linia).
Przykład. Dla prostej \(y = 2x + 1\):
- \(a = 2\) – prosta rośnie, przyrost \(y\) o 2 przy wzroście \(x\) o 1,
- \(b = 1\) – przecina oś \(y\) w punkcie \((0,1)\).
Równanie prostej przez punkt i współczynnik kierunkowy
Jeśli znamy punkt \((x_0,y_0)\) leżący na prostej oraz współczynnik kierunkowy \(a\), to równanie prostej można zapisać jako:
\[
y – y_0 = a(x – x_0).
\]
Przykład. Znajdź równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(a=3\), przechodzącej przez punkt \(P(1,2)\).
\[
y – 2 = 3(x – 1).
\]
Możemy przekształcić do postaci \(y=ax+b\):
\[
y – 2 = 3x – 3 \quad \Rightarrow \quad y = 3x – 1.
\]
Równanie prostej przez dwa punkty
Jeśli znamy dwa różne punkty \((x_1,y_1)\) i \((x_2,y_2)\), to współczynnik kierunkowy:
\[
a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}, \quad (x_1 \neq x_2),
\]
a równanie prostej możemy zapisać jako:
\[
y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1).
\]
Przykład. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A(1,2)\) i \(B(3,6)\).
- Obliczamy współczynnik kierunkowy:
\[
a = \frac{6 – 2}{3 – 1} = \frac{4}{2} = 2.
\] - Korzystamy z postaci przez punkt i współczynnik:
\[
y – 2 = 2(x – 1).
\] - Przekształcamy:
\[
y – 2 = 2x – 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2x.
\]
Proste równoległe i prostopadłe
Dwie proste w postaci kierunkowej:
\[
l_1: y = a_1x + b_1, \quad l_2: y = a_2x + b_2
\]
- są równoległe, gdy:
\[
a_1 = a_2 \quad \text{i} \quad b_1 \neq b_2,
\]czyli mają ten sam współczynnik kierunkowy (nachylenie), ale przecinają oś \(y\) w różnych miejscach;
- są prostopadłe, gdy:
\[
a_1 \cdot a_2 = -1, \quad (a_1, a_2 \neq 0),
\]czyli ich współczynniki kierunkowe są ujemnymi odwrotnościami.
Przykład – proste prostopadłe. Prosta \(y = 2x + 3\) jest prostopadła do prostej \(y = -\frac{1}{2}x + 1\), ponieważ:
\[
2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1.
\]
Prosty wykres – prosta i punkty na płaszczyźnie
Poniżej znajduje się prosty, interaktywny wykres (Canvas + Chart.js), który pokazuje prostą \(y=2x+1\) oraz dwa punkty na tej prostej: \(A(0,1)\) i \(B(2,5)\). Wykres jest responsywny, więc dopasuje się do szerokości ekranu (np. smartfona).
Równanie okręgu w geometrii analitycznej
Okrąg w geometrii analitycznej można przedstawić za pomocą równania. Najwygodniejsza jest postać, gdy znamy środek okręgu i jego promień.
Okrąg o środku w \((a,b)\) i promieniu \(r\)
Jeśli środek okręgu to punkt \(S(a,b)\), a promień ma długość \(r\), to równanie okręgu jest następujące:
\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
\]
Skąd ten wzór?
Każdy punkt \((x,y)\) na okręgu jest w stałej odległości \(r\) od środka \(S(a,b)\). Korzystamy z wzoru na długość odcinka (odległość między punktami):
\[
\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r.
\]
Po podniesieniu do kwadratu:
\[
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
\]
Przykład. Okrąg o środku w punkcie \(S(1,-2)\) i promieniu \(3\) ma równanie:
\[
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.
\]
Okrąg o środku w początku układu
Jeśli środek okręgu to \((0,0)\), to równanie upraszcza się do:
\[
x^2 + y^2 = r^2.
\]
Przykład. Okrąg o środku w \((0,0)\) i promieniu 5 ma równanie:
\[
x^2 + y^2 = 25.
\]
Podsumowanie wzorów dla okręgu
| Typ okręgu | Równanie | Parametry |
|---|---|---|
| Środek w \((a,b)\) | \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) | Środek \((a,b)\), promień \(r\) |
| Środek w \((0,0)\) | \(x^2 + y^2 = r^2\) | Promień \(r\) |
Przykłady zastosowania geometrii analitycznej
1. Sprawdzenie, czy punkt leży na prostej
Zadanie. Sprawdź, czy punkt \(P(2,5)\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 1\).
- Podstawiamy współrzędne punktu do równania prostej:
\[
y = 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad 5 \stackrel{?}{=} 2\cdot 2 + 1.
\] - Obliczamy prawą stronę:
\[
2\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5.
\] - Porównujemy:
\[
5 = 5 \quad \Rightarrow \quad \text{równanie jest spełnione}.
\]
Wniosek: punkt \(P(2,5)\) leży na tej prostej.
2. Sprawdzenie, czy punkt leży na okręgu
Zadanie. Sprawdź, czy punkt \(P(3,4)\) leży na okręgu o równaniu \(x^2 + y^2 = 25\).
- Podstawiamy:
\[
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.
\] - Porównujemy z prawą stroną równania okręgu:
\[
25 = 25.
\]
Wniosek: punkt \(P(3,4)\) leży na tym okręgu.
3. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych
Zadanie. Znajdź punkt przecięcia prostych:
\[
l_1: y = 2x + 1, \quad l_2: y = -x + 4.
\]
Punkt przecięcia to taki punkt \((x,y)\), który spełnia oba równania jednocześnie. Możemy więc przyrównać prawe strony równań:
\[
2x + 1 = -x + 4.
\]
- Dodajemy \(x\) do obu stron:
\[
3x + 1 = 4.
\] - Odejmiemy 1 od obu stron:
\[
3x = 3.
\] - Dzielimy przez 3:
\[
x = 1.
\] - Podstawiamy \(x=1\) do dowolnego z równań, np. \(y = 2x + 1\):
\[
y = 2\cdot 1 + 1 = 3.
\]
Wniosek: proste przecinają się w punkcie \(P(1,3)\).
Podstawowe pojęcia geometrii analitycznej – krótkie podsumowanie
- Punkt – opisany przez współrzędne \((x,y)\).
- Odcinek – określony przez dwa punkty końcowe. Najważniejsze wzory:
- długość odcinka:
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2},
\] - środek odcinka:
\[
S\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right).
\]
- długość odcinka:
- Prosta – najczęściej opisywana równaniami:
- ogólna: \(Ax + By + C = 0\),
- kierunkowa: \(y = ax + b\),
- przez punkt: \(y - y_0 = a(x - x_0)\),
- przez dwa punkty: \(y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)\).
- Okrąg – równanie:
- ogólnie: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\),
- środek w \((0,0)\): \(x^2 + y^2 = r^2\).
- Geometria analityczna w praktyce – pozwala:
- obliczać odległości i środki odcinków,
- sprawdzać przynależność punktu do prostej/okręgu,
- wyznaczać punkty przecięcia prostych,
- analizować położenie figur względem siebie.
Znając powyższe definicje, wzory i przykłady, możesz samodzielnie rozwiązywać wiele zadań z podstawowej geometrii analitycznej: od prostych obliczeń długości odcinków, przez wyznaczanie równań prostych, aż po analizę okręgów na płaszczyźnie.