Wzór na długość odcinka – proste wyjaśnienie krok po kroku

Długość odcinka to temat pojawiający się w geometrii, algebrze i zadaniach z fizyki. W praktyce chodzi o to, żeby szybko policzyć, jak daleko są od siebie dwa punkty. Znajomość wzoru na długość odcinka pozwala rozwiązywać całe grupy zadań bez kombinowania za każdym razem od zera.

Warto zobaczyć ten wzór nie jako coś do wkuwania, ale jako prosty efekt twierdzenia Pitagorasa. Po zrozumieniu jednego schematu, wszystkie odmiany zadań (na osi, w układzie współrzędnych, w przestrzeni) stają się powtarzalne i przewidywalne.

Odcinek na prostej liczbowej – najprostszy przypadek

Najłatwiej zacząć od osi liczbowej, czyli prostej z zaznaczonymi liczbami. Punkty mają wtedy tylko jedną współrzędną, np. A(2) i B(7).

Długość odcinka AB to po prostu odległość między tymi liczbami. Liczy się ją jako różnicę współrzędnych (bez znaku minus):

Wzór na długość odcinka na osi liczbowej:

|AB| = |x_B − x_A|

Przykład:

• A(2), B(7):  |AB| = |7 − 2| = |5| = 5
• A(−3), B(4):  |AB| = |4 − (−3)| = |7| = 7
• A(5), B(−1):  |AB| = |−1 − 5| = |−6| = 6

W praktyce ważne są dwie rzeczy:

• zawsze bierze się wartość bezwzględną (paski przy liczbie),
• kolejność punktów nie ma znaczenia, bo |x_A − x_B| = |x_B − x_A|.

Długość odcinka to zawsze liczba dodatnia (lub zero, gdy punkty się pokrywają). Minusa w wyniku tutaj nie ma prawa być.

Odcinek w układzie współrzędnych – skąd się bierze wzór

Gdy punkty leżą na płaszczyźnie, każdy ma już dwie współrzędne, np. A(x_A, y_A), B(x_B, y_B). Chodzi o odległość między nimi – nadal jest to długość odcinka AB, tylko teraz w 2D.

Twierdzenie Pitagorasa w tle

Żeby nie wkuwać wzoru w ciemno, lepiej zobaczyć, jak powstaje. Wystarczy dorysować prostokątny trójkąt:

• z punktu A poprowadzić poziomą linię do poziomu punktu B,
• z punktu B – pionową linię do wysokości punktu A.

Powstaje trójkąt prostokątny, którego:

• jedna przyprostokątna ma długość |x_B − x_A| (różnica współrzędnych x),
• druga ma długość |y_B − y_A| (różnica współrzędnych y),
• przeciwprostokątną jest właśnie odcinek AB.

Z twierdzenia Pitagorasa:

|AB|² = (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²

Po wyciągnięciu pierwiastka otrzymuje się standardowy wzór:

|AB| = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²]

I to wszystko – żadnej magii, tylko Pitagoras w przebraniu.

Wzór na długość odcinka – krok po kroku na przykładach

Sam wzór to jedno, ale w zadaniach najwięcej czasu zjadają drobiazgi: minusy, nawiasy, niedokładne podstawienia. Dlatego wygodnie jest trzymać się jednego schematu.

Standardowy przykład z liczbami dodatnimi

Dane są punkty: A(2, 3), B(6, 10). Obliczyć |AB|.

Krok 1 – spisać współrzędne

• A(2, 3) → x_A = 2, y_A = 3
• B(6, 10) → x_B = 6, y_B = 10

Krok 2 – policzyć różnice współrzędnych

• x_B − x_A = 6 − 2 = 4
• y_B − y_A = 10 − 3 = 7

Krok 3 – podstawić do wzoru

|AB| = √(4² + 7²) = √(16 + 49) = √65

Jeśli zadanie nie wymaga przybliżenia dziesiętnego, odpowiedź zostawia się jako √65. To w pełni poprawna postać.

Przykład z liczbami ujemnymi

Dane są punkty: A(−3, 4), B(5, −2). Obliczyć |AB|.

Krok 1 – współrzędne

• x_A = −3, y_A = 4
• x_B = 5, y_B = −2

Krok 2 – różnice (tu łatwo o błąd w znakach)

• x_B − x_A = 5 − (−3) = 5 + 3 = 8
• y_B − y_A = −2 − 4 = −6

Krok 3 – podstawić do wzoru

|AB| = √(8² + (−6)²) = √(64 + 36) = √100 = 10

Minusy w różnicach nie przeszkadzają, bo i tak są podnoszone do kwadratu. Kluczowe są poprawne nawiasy przy odejmowaniu liczb ujemnych.

Długość odcinka a położenie punktów (osie, ćwiartki, pion/poziom)

Wzór na długość odcinka działa tak samo, niezależnie od tego, gdzie punkty leżą: w której ćwiartce, czy na osiach. W niektórych sytuacjach można jednak policzyć wszystko szybciej.

Punkty leżące na tej samej poziomej lub pionowej linii

Jeśli punkty mają taką samą współrzędną x lub y, odcinek jest odpowiednio poziomy lub pionowy.

• Ten sam x (x_A = x_B) → odcinek pionowy, długość: |y_B − y_A|
• Ta sama y (y_A = y_B) → odcinek poziomy, długość: |x_B − x_A|

Przykład: A(4, 1), B(4, 9) – odcinek pionowy.

|AB| = |9 − 1| = 8

Ten wynik oczywiście wyjdzie też ze wzoru ogólnego, ale liczenie „z głowy” często jest szybsze.

Punkty w różnych ćwiartkach układu

Położenie w ćwiartkach (I, II, III, IV) nie zmienia nic w samym wzorze. Różnice współrzędnych mogą być dodatnie lub ujemne, ale po podniesieniu do kwadratu i tak znikają znaki.

Najważniejsza rzecz: nie bać się nawiasów przy liczbach ujemnych. To właśnie w tych zadaniach powstaje większość niepotrzebnych błędów.

Częste pułapki przy liczeniu długości odcinka

Tutaj przydaje się lista typowych wpadek. Im bardziej są świadome, tym szybciej można ich unikać.

• Zamiana kolejności współrzędnych – podstawianie np. x z A, a y z B do jednego miejsca. Zawsze najpierw x, potem y, w tej samej kolejności punktów.
• Brak nawiasów przy liczbach ujemnych – zamiast 5 − (−3) pojawia się 5 − −3 lub 5 − 3, co całkowicie psuje wynik.
• Zapominanie o pierwiastku – obliczane jest tylko (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)², bez wyciągnięcia √ na koniec.
• Wyciąganie pierwiastka na siłę – w wielu zadaniach poprawną odpowiedzią jest po prostu √65 czy √13, bez zamieniania na przybliżenia dziesiętne.

W zadaniach dowodowych i konstrukcyjnych lepsza jest odpowiedź w postaci pierwiastka. Przybliżenia typu 3,6 czy 8,1 są potrzebne głównie tam, gdzie pojawia się jednostka fizyczna lub konkretna tolerancja błędu.

Długość odcinka w przestrzeni (3D) – rozszerzenie wzoru

W szkole ponadpodstawowej pojawia się też odcinek w przestrzeni. Punkt ma wtedy trzy współrzędne: A(x_A, y_A, z_A), B(x_B, y_B, z_B).

Mechanizm jest dokładnie ten sam, tylko dochodzi trzecia różnica współrzędnych.

|AB| = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²]

Można to traktować jako twierdzenie Pitagorasa „dwa razy z rzędu” – najpierw na płaszczyźnie, potem z trzecim wymiarem. Z punktu widzenia rachunków zmienia się tylko to, że jest jedna liczba więcej do policzenia.

Skrótowy schemat do zastosowania w zadaniu

Na koniec warto mieć pod ręką prosty szablon, który można mentalnie „odhaczać” przy każdym przykładzie.

1. Spisać współrzędne punktów A, B (osobno x, y, ewentualnie z).
2. Policzyć różnice współrzędnych: x_B − x_A, y_B − y_A, (z_B − z_A).
3. Podnieść różnice do kwadratu i dodać.
4. Wyciągnąć pierwiastek z otrzymanej sumy.
5. Zostawić wynik pod pierwiastkiem lub – gdy trzeba – policzyć przybliżenie.

Po kilku takich obliczeniach wzór na długość odcinka przestaje kojarzyć się z „czymś do nauczenia”, a zaczyna wyglądać jak naturalne narzędzie do mierzenia odległości między punktami – bez względu na to, czy leżą na osi, na płaszczyźnie, czy w przestrzeni.