Trójkąt równoramienny pojawia się bardzo często w zadaniach z geometrii. Aby swobodnie rozwiązywać takie zadania, warto dobrze rozumieć, jak obliczać jego pole różnymi sposobami, w zależności od danych w treści zadania. Poniżej znajdziesz wyjaśnienia krok po kroku, wzory na pole trójkąta równoramiennego oraz gotowe, rozwiązane przykłady.
Przypomnienie: pole dowolnego trójkąta
Podstawowy wzór na pole dowolnego trójkąta (nie tylko równoramiennego) to:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \]
gdzie:
- \(a\) – długość wybranego boku (najczęściej nazywanego podstawą),
- \(h_a\) – wysokość opuszczona na ten bok \(a\).
W trójkącie równoramiennym szczególnie często interesuje nas wysokość opuszczona na podstawę, bo ma ona dodatkowe, przydatne własności.
Co to jest trójkąt równoramienny?
Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa boki równej długości. Oznaczmy:
- \(a\) – długość podstawy (boku, który jest inny),
- \(b\) – długość ramion (dwóch równych boków),
- \(h\) – wysokość opuszczona na podstawę \(a\).
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę:
- dzieli podstawę na dwie równe części: każda ma długość \(\frac{a}{2}\),
- jest jednocześnie symetralną podstawy (dzieli ją na pół pod kątem prostym),
- tworzy z ramionami dwa przystające trójkąty prostokątne.
Dzięki temu możemy łatwo korzystać z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć brakującą wysokość lub bok.
Wzory na pole trójkąta równoramiennego
1. Pole z podstawy i wysokości
Najprostszy i najczęściej używany wzór:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
gdzie:
- \(a\) – długość podstawy trójkąta równoramiennego,
- \(h\) – wysokość opuszczona na podstawę \(a\).
Ten wzór działa dla każdego trójkąta, ale w równoramiennym wysokość na podstawę jest szczególnie łatwa do obliczenia (patrz niżej).
2. Pole z podstawy i długości ramienia (z twierdzenia Pitagorasa)
Często w zadaniach znamy długość podstawy \(a\) oraz ramienia \(b\), ale wysokość \(h\) nie jest podana wprost. Możemy ją wtedy obliczyć, korzystając z faktu, że wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne.
Po podziale:
- podstawa \(\;a\;\) dzieli się na dwa odcinki długości \(\frac{a}{2}\),
- ramię ma długość \(\;b\;\),
- wysokość na podstawę ma długość \(\;h\;\).
Dla jednego z powstałych trójkątów prostokątnych mamy z twierdzenia Pitagorasa:
\[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Stąd:
\[ h^2 = b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ h = \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \]
Po obliczeniu wysokości możemy użyć podstawowego wzoru na pole:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \]
Otrzymujemy więc wzór na pole trójkąta równoramiennego z podstawy \(a\) i ramienia \(b\):
\[ P = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \]
3. Pole z dwóch boków i kąta między nimi
Jeśli znamy długości dwóch boków i miarę kąta między nimi, możemy skorzystać z ogólnego wzoru na pole trójkąta:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot \sin \gamma \]
gdzie:
- \(c\) i \(d\) – długości dwóch boków,
- \(\gamma\) – miara kąta między tymi bokami.
W trójkącie równoramiennym, jeśli bierzemy ramiona jako boki, to:
- \(c = b\),
- \(d = b\),
- \(\gamma = \alpha\) – kąt przy wierzchołku między ramionami.
Dostajemy wtedy:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha \]
4. Podejście „uniwersalne” – wzór Herona
Istnieje wzór na pole trójkąta z samych boków (bez wysokości i bez kątów) – to wzór Herona. Dla trójkąta o bokach \(a\), \(b\), \(c\):
\[ P = \sqrt{\,p(p – a)(p – b)(p – c)\,} \]
gdzie \(p\) to półobwód:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
W trójkącie równoramiennym mamy najczęściej:
- \(a\) – podstawa,
- \(b\) – ramię,
- \(c = b\) – drugie ramię.
Wtedy półobwód wynosi:
\[ p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{a + 2b}{2} \]
A pole:
\[ P = \sqrt{\,p(p – a)(p – b)(p – b)\,} \]
Ten wzór jest bardziej skomplikowany obliczeniowo, więc na poziomie podstawowym zwykle korzysta się z poprzednich metod. Warto jednak wiedzieć, że istnieje.
Porównanie wzorów na pole trójkąta równoramiennego
Poniższa tabela zbiera najważniejsze wzory w jednym miejscu.
| Dane w zadaniu | Wzór na pole | Komentarz |
|---|---|---|
| Podstawa \(a\) i wysokość \(h\) | \[ P = \frac{1}{2} a h \] | Najprostszy przypadek, stosuj zawsze gdy masz podstawę i odpowiadającą jej wysokość. |
| Podstawa \(a\) i ramię \(b\) | \[ P = \frac{a}{2} \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \] | Najpierw z Pitagorasa liczysz \(h\), potem wstawiasz do wzoru na pole. |
| Ramię \(b\) i kąt przy wierzchołku \(\alpha\) | \[ P = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha \] | Wykorzystuje funkcję sinus, częściej w zadaniach z trygonometrii. |
| Wszystkie boki \(a\), \(b\), \(b\) | \[ P = \sqrt{\,p(p-a)(p-b)^2\,},\; p=\frac{a+2b}{2} \] | Wzór Herona; przydatny, gdy znamy wszystkie boki, ale brak wysokości. |
Jak obliczać wysokość w trójkącie równoramiennym?
To bardzo ważna umiejętność, bo w wielu zadaniach wysokość nie jest dana wprost, ale można ją łatwo wyznaczyć.
Krok 1: Podział trójkąta przez wysokość
Wysokość opuszczona na podstawę \(a\):
- jest prostopadła do podstawy,
- przechodzi przez wierzchołek pomiędzy ramionami,
- dzieli podstawę na dwie równe części: \(\frac{a}{2}\) i \(\frac{a}{2}\).
Krok 2: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
W jednym z powstałych trójkątów prostokątnych:
- przeciwprostokątna ma długość \(b\) (ramię trójkąta równoramiennego),
- jedna przyprostokątna ma długość \(h\) (wysokość),
- druga przyprostokątna ma długość \(\frac{a}{2}\) (połowa podstawy).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Stąd wyznaczamy wysokość \(h\):
\[ h^2 = b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
\[ h = \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \]
Krok 3: Wstawienie wysokości do wzoru na pole
Teraz możemy obliczyć pole z podstawy i wysokości:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{\,b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2\,} \]
W praktyce często liczymy najpierw \(h\) osobno, a potem pole. W zadaniach szkolnych dobrze jest wyraźnie pokazać oba kroki.
Przykłady obliczeń pola trójkąta równoramiennego
Przykład 1: Pole trójkąta równoramiennego z podstawy i wysokości
Zadanie. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(a = 10\ \text{cm}\), a wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość \(h = 6\ \text{cm}\). Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku.
- Zapisujemy wzór na pole trójkąta:
\[ P = \frac{1}{2} a h \]
- Podstawiamy dane:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 10\ \text{cm} \cdot 6\ \text{cm} \]
- Wykonujemy obliczenia:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 60\ \text{cm}^2 = 30\ \text{cm}^2 \]
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi \(30\ \text{cm}^2\).
Przykład 2: Pole trójkąta równoramiennego z podstawy i ramienia
Zadanie. Trójkąt równoramienny ma podstawę długości \(a = 8\ \text{cm}\) i ramię długości \(b = 10\ \text{cm}\). Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku.
- Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie części po \(4\ \text{cm}\) (bo \(\frac{a}{2} = 4\ \text{cm}\)).
- Oznaczmy wysokość przez \(h\). W jednym z trójkątów prostokątnych mamy:
\[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
czyli:
\[ 10^2 = h^2 + 4^2 \]
\[ 100 = h^2 + 16 \]
\[ h^2 = 84 \]
\[ h = \sqrt{84} \ \text{cm} \]
- Teraz obliczamy pole:
\[ P = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{84} \]
\[ P = 4 \sqrt{84}\ \text{cm}^2 \]
- Jeśli chcemy wartość przybliżoną, liczymy:
\[ \sqrt{84} \approx 9{,}17 \]
\[ P \approx 4 \cdot 9{,}17 \approx 36{,}68\ \text{cm}^2 \]
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi \(4\sqrt{84}\ \text{cm}^2 \approx 36{,}68\ \text{cm}^2\).
Przykład 3: Pole trójkąta równoramiennego z ramienia i kąta przy wierzchołku
Zadanie. Trójkąt równoramienny ma ramiona długości \(b = 5\ \text{cm}\). Kąt między ramionami (kąt przy wierzchołku) ma miarę \(\alpha = 60^\circ\). Oblicz pole trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku.
- Korzystamy ze wzoru:
\[ P = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha \]
- Podstawiamy dane:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \sin 60^\circ \]
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \sin 60^\circ \]
- Wartość \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc:
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2 \]
- Wartość przybliżona:
\[ \sqrt{3} \approx 1{,}732 \]
\[ P \approx \frac{25 \cdot 1{,}732}{4} \approx \frac{43{,}3}{4} \approx 10{,}83\ \text{cm}^2 \]
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi \(\frac{25\sqrt{3}}{4}\ \text{cm}^2 \approx 10{,}83\ \text{cm}^2\).
Przykład 4: Sprawdzenie, czy dane boki mogą tworzyć trójkąt równoramienny
Zadanie. Dane są liczby: \(a = 12\ \text{cm}\) (podstawa), \(b = 6\ \text{cm}\) (ramię). Czy istnieje trójkąt równoramienny o takich bokach? Jeśli tak, oblicz jego pole.
Rozwiązanie krok po kroku.
- Sprawdźmy, czy można zbudować trójkąt. W trójkącie suma długości dwóch boków musi być większa od trzeciego boku. Tu mamy boki: \(6\), \(6\), \(12\).
- \(6 + 6 = 12\) – to nie jest większe od 12, tylko równe,
- to oznacza, że takie odcinki ułożą się w odcinek prosty, a nie w trójkąt.
- Wniosek: trójkąt o bokach \(6\), \(6\), \(12\) nie istnieje.
Odpowiedź: Nie istnieje trójkąt równoramienny o tak dobranych bokach, więc nie można obliczyć jego pola.
Zadania do samodzielnego rozwiązania (z odpowiedziami)
Zadanie 1
Trójkąt równoramienny ma podstawę \(a = 14\ \text{cm}\) i wysokość opuszczoną na podstawę \(h = 9\ \text{cm}\). Oblicz pole trójkąta.
Wskazówka: Użyj wzoru \(P = \frac{1}{2} a h\).
Odpowiedź: \(P = 63\ \text{cm}^2\).
Zadanie 2
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość \(a = 10\ \text{cm}\), a ramię \(b = 13\ \text{cm}\). Oblicz wysokość opuszczoną na podstawę i pole trójkąta.
Wskazówka: Najpierw zastosuj twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości.
Odpowiedź (skrótowo):
- \(h = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12\ \text{cm}\),
- \(P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60\ \text{cm}^2\).
Zadanie 3
W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość \(b = 8\ \text{cm}\), a kąt między nimi wynosi \(\alpha = 45^\circ\). Oblicz pole trójkąta (podaj wynik w postaci dokładnej i przybliżonej).
Odpowiedź (zarys):
- \(P = \frac{1}{2} b^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \sin 45^\circ = 32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16\sqrt{2}\ \text{cm}^2\),
- przybliżenie: \(P \approx 22{,}63\ \text{cm}^2\).
Prosty kalkulator pola trójkąta równoramiennego
Poniższy kalkulator pomaga szybko obliczyć pole trójkąta równoramiennego, gdy znasz długość podstawy \(a\) i wysokości \(h\) opuszczonej na tę podstawę. Wpisz dane (w tych samych jednostkach, np. cm) i kliknij przycisk.