X³, (a + b)³ i a³ − b³ – te trzy wyrażenia uruchamiają cały pakiet narzędzi algebraicznych, który w praktyce oszczędza czas, miejsce w zeszycie i ilość popełnianych błędów. Łączy je to, że wszystkie korzystają ze wzorów skróconego mnożenia trzeciego stopnia, często traktowanych po macoszemu, a w rzeczywistości bardzo użytecznych. Warto uporządkować sobie te wzory, zobaczyć, skąd się biorą, a przede wszystkim: jak faktycznie ułatwiają liczenie w zadaniach z algebry, geometrii i fizyki.
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia – szybkie przypomnienie
Na poziomie szkoły średniej stosuje się cztery podstawowe wzory trzeciego stopnia:
- sześcian sumy: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- sześcian różnicy: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- suma sześcianów: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- różnica sześcianów: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Te cztery wzory zwykle trzeba po prostu pamiętać, ale dobrze jest rozumieć, jak się ze sobą łączą. Pierwsze dwa pozwalają rozwinąć sześciany (czyli rozpisać nawiasy), a dwa ostatnie służą do rozbijania sześcianów na czynniki (czyli „zbierania w nawias”):
Przykład: z jednej strony (a + b)³ można potraktować jako (a + b)(a + b)(a + b) i żmudnie wymnożyć; z drugiej – gotowy wzór daje wynik od razu. Podobnie a³ − b³ często lepiej zostawić w postaci (a − b)(a² + ab + b²), jeśli wiadomo, że liczba (a − b) gdzieś się skróci.
Najpraktyczniejsze zastosowanie wzorów trzeciego stopnia w szkole: uproszczenie rachunków i skracanie ułamków algebraicznych, zwłaszcza gdy w liczniku lub mianowniku pojawia się a³ ± b³.
Rozwijanie wyrażeń: dlaczego warto używać wzorów zamiast „mnożyć wszystko z wszystkim”
Rozpisywanie (a + b)³ jako trzech nawiasów i mnożenie „każdy z każdym” teoretycznie zawsze zadziała, ale w praktyce pełno tam miejsca na błąd. Wzór działa jak skrót myślowy.
Dla przykładu:
(2x − 3)³
Z użyciem wzoru:
(2x − 3)³ = (2x)³ − 3(2x)²·3 + 3(2x)·3² − 3³ = 8x³ − 36x² + 54x − 27
Bez wzoru trzeba by wymnożyć (2x − 3)(2x − 3)(2x − 3), co generuje serię pośrednich działań. W zadaniach egzaminacyjnych czas i miejsce na kartce są realnym zasobem – stosowanie wzorów zwyczajnie się opłaca.
Podobnie w drugą stronę, przy rozpoznawaniu sześcianu:
x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
Rozkład na „typowe” składniki 1, 3, 3, 1 (współczynniki z dwumianu Newtona) pozwala błyskawicznie zidentyfikować postać (a + b)³. To później przydaje się także w analizie funkcji – łatwiej pracuje się z (x + 1)³ niż z rozwinięciem na cztery składniki.
Zastosowanie w zadaniach rachunkowych i przekształceniach algebraicznych
Skracanie ułamków algebraicznych
Bardzo typowe zadania sprowadzają się do skrócenia ułamka, w którym pojawia się a³ ± b³. Bez znajomości wzoru na sumę czy różnicę sześcianów takie zadanie bywa zupełnie nieczytelne.
Przykład:
\[\frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}\]
Po zastosowaniu wzoru:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
dostaje się:
\[\frac{(a – b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = a – b\]
Bez wzoru – praktycznie nie do zrobienia „z głowy”. Z wzorem – trzy linijki i po sprawie.
Ułatwianie obliczeń numerycznych
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia bywają też sposobem na „sprytne liczenie” w pamięci. Fanom zadań konkursowych nie trzeba tego tłumaczyć.
Przykład z sześcianem sumy:
13³ można policzyć jako (10 + 3)³:
(10 + 3)³ = 10³ + 3·10²·3 + 3·10·3² + 3³ = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197
Przykład z różnicą sześcianów:
27³ − 23³
Można użyć wzoru a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²):
27³ − 23³ = (27 − 23)(27² + 27·23 + 23²) = 4(729 + 621 + 529) = 4 · 1879 = 7516
Liczenie samych sześcianów „z palca” byłoby dużo bardziej uciążliwe. Zastosowanie wzoru zmniejsza liczbę kroków, a tym samym ryzyko pomyłki.
Geometria: objętości, pola, podział odcinków
W geometrii wzory trzeciego stopnia naturalnie pojawiają się w kontekście objętości sześcianów i prostopadłościanów, a także przy podnoszeniu współrzędnych do sześcianu.
Objętości brył i „dołożenie” krawędzi
Objętość sześcianu o krawędzi a wynosi a³. Jeśli krawędź zwiększy się o długość b, nowa objętość to (a + b)³. Różnica objętości to:
(a + b)³ − a³ = 3a²b + 3ab² + b³
Ten prosty zapis ma kilka użytecznych interpretacji:
- 3a²b – „trzy dodatkowe prostopadłościany” przyklejone do ścian starego sześcianu
- 3ab² – „trzy słupki” przyklejone do krawędzi
- b³ – „dodatkowy mały sześcian” przy narożniku
Takie obrazowanie pojawia się czasem w zadaniach opisowych, gdzie trzeba wyjaśnić zależność między przyrostem długości krawędzi a przyrostem objętości. Wzór na (a + b)³ pozwala przejść z opisu słownego na dokładne wyrażenie algebraiczne.
Współrzędne, wektory i odległości
W zadaniach z analitycznej geometrii trzecie potęgi pojawiają się rzadziej niż kwadraty, ale gdy trzeba policzyć np. sumę sześcianów współrzędnych (x³ + y³ + z³), znajomość rozkładu na sumę sześcianów upraszcza równania.
Przykład prostego przekształcenia:
Załóżmy, że x + y = 5, a trzeba obliczyć x³ + y³. Z wzoru:
x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
Ale x² − xy + y² można zapisać w oparciu o (x + y)²:
(x + y)² = x² + 2xy + y² ⇒ x² + y² = (x + y)² − 2xy
Podstawiając:
x² − xy + y² = (x + y)² − 3xy
Dalej wszystko zależy wyłącznie od tego, czy uda się wyznaczyć xy. W zadaniach z układami równań takie przekształcenia pojawiają się bardzo często – wzory na sumę i różnicę sześcianów są tam naturalnym narzędziem.
Wzory na sumę i różnicę sześcianów w dalszej algebrze
Sumy i różnice sześcianów nie kończą się na szkole średniej. Wracają w algebrze wyższej, przy rozkładzie wielomianów czy analizie pierwiastków równań.
Rozkład wielomianów i szukanie pierwiastków
Prosty przykład: rozkład wielomianu x³ − 8.
Tu a = x, b = 2, więc:
x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4)
Na tej podstawie:
- od razu wiadomo, że x = 2 jest pierwiastkiem wielomianu
- zostaje do przeanalizowania tylko trójmian kwadratowy x² + 2x + 4
Dla równań typu:
x³ + 27 = 0
również stosuje się rozkład na sumę sześcianów:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3)(x² − 3x + 9)
W bardziej złożonych zadaniach z wielomianami (np. w zadaniach olimpijskich) rozpoznanie a³ ± b³ „gołym okiem” często decyduje o tym, czy zadanie w ogóle ruszy z miejsca.
Typowe błędy przy stosowaniu wzorów trzeciego stopnia
Pomylenie wzorów dla kwadratu i sześcianu
Klasyczny błąd: przeniesienie schematu z (a ± b)² na (a ± b)³.
Zdarzają się zapisy w stylu:
(a + b)³ = a³ + b³
albo:
(a − b)³ = a³ − b³
co oczywiście prowadzi do kompletnie błędnych wyników. W (a + b)² są trzy składniki, a we wzorze na sześcian aż cztery – ze współczynnikami 1, 3, 3, 1. Warto utrwalać je razem z podobnym wzorem Newtona dla potęgi czwartej: 1, 4, 6, 4, 1, żeby „poczuć” schemat.
Zły znak przy sześcianie różnicy
Druga pułapka: (a − b)³.
Poprawny wzór:
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Błędna, ale często spotykana wersja:
(a − b)³ = a³ − 3a²b − 3ab² − b³
Czyli ze złym znakiem przy 3ab². Warto zapamiętać krótkie zdanie: „przy sześcianie różnicy: znaki + − + −”. To prosty sposób na uniknięcie pomyłki.
Pomylenie sumy i różnicy sześcianów przy rozkładzie na czynniki
Równie często mylą się znaki w wzorach:
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Łatwo to zapamiętać w krótkiej wersji: „na zewnątrz ten sam znak, w środku odwrotny”, ale dotyczy to tylko części liniowej (a ± b). Drugi nawias ma zawsze wszystkie znaki plus, z jednym minusem przy ab w przypadku sumy sześcianów.
W praktyce pomaga schemat: a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²). Górny znak idzie do pierwszego nawiasu, dolny – przy ab.
Jak skutecznie opanować wzory trzeciego stopnia
Wzory skróconego mnożenia trzeciego stopnia robią się naturalne dopiero wtedy, gdy pojawiają się automatycznie – bez szukania ich w tablicach czy ściągach. Kilka prostych nawyków bardzo to przyspiesza.
- Ćwiczenie obu kierunków: zarówno rozwijanie (np. (2x − 5)³), jak i składanie (np. rozpoznawanie, że x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³).
- Szukanie a³ ± b³ w zadaniach: przy każdym dziwnym wielomianie trzeciego stopnia warto zadać jedno krótkie pytanie: „czy to nie jest suma albo różnica sześcianów?”.
- Porównywanie do (a + b)²: świadome zestawianie pary wzorów (a + b)² i (a + b)³ pozwala „zobaczyć”, jak rosną współczynniki i skąd się biorą te słynne 1, 3, 3, 1.
Po pewnym czasie wzory trzeciego stopnia przestają być „kolejną rzeczą do wykucia”, a zaczynają być naturalnym skrótem, bez którego obliczenia po prostu stają się bardziej męczące. I o to w nich chodzi: nie o formalizm, ale o realne ułatwienie roboty w zadaniach z całej matematyki – od prostych ułamków algebraicznych po analizę wielomianów.