1. prawo Kirchhoffa to jedna z najważniejszych zasad w elektrotechnice i elektronice. Pozwala zrozumieć, co dzieje się z prądem w miejscu, w którym przewody łączą się ze sobą, czyli w węźle. Jeśli dopiero uczysz się obwodów elektrycznych, to właśnie od tej zasady warto zacząć, bo pojawia się ona bardzo często w zadaniach, w analizie układów i w praktyce.
Najprościej mówiąc: prąd nie znika i nie pojawia się sam z siebie w węźle. To, co wpływa do węzła, musi z niego wypłynąć. Jest to bezpośrednia konsekwencja zasady zachowania ładunku elektrycznego.
Na czym polega 1. prawo Kirchhoffa?
1. prawo Kirchhoffa nazywa się też prawem prądów Kirchhoffa. Dotyczy ono punktu połączenia kilku gałęzi obwodu, czyli węzła.
Treść prawa można zapisać słowami:
Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów wypływających z tego węzła.
W postaci matematycznej najczęściej zapisuje się je tak:
$$\sum I = 0$$
Ten zapis oznacza, że jeśli odpowiednio nadamy znaki prądom, to ich suma algebraiczna w węźle wynosi zero.
Bardziej intuicyjna wersja wzoru wygląda tak:
$$\sum I_{\text{wpływające}}=\sum I_{\text{wypływające}}$$
Obie formy znaczą to samo. Druga jest zwykle łatwiejsza dla początkujących.
Co to jest węzeł?
Węzeł to miejsce w obwodzie, w którym spotykają się co najmniej trzy gałęzie. Właśnie tam analizujemy przepływ prądu.
Na takim rysunku można sobie wyobrazić, że część prądu wpływa do środka, a część z niego wypływa. 1. prawo Kirchhoffa mówi, że bilans musi się zgadzać.
Skąd bierze się ten wzór?
Podstawą jest zasada zachowania ładunku. Ładunek elektryczny nie może po prostu zniknąć w punkcie obwodu. Jeśli więc do węzła w jednostce czasu dopływa pewna ilość ładunku, to taka sama ilość musi z niego odpłynąć, o ile nie rozpatrujemy specjalnych przypadków magazynowania ładunku.
Ponieważ natężenie prądu jest zdefiniowane jako:
$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$$
to zachowanie ładunku prowadzi bezpośrednio do wniosku, że suma prądów w węźle musi się bilansować.
Jak stosować znaki prądów?
W zadaniach są dwa popularne sposoby:
- prądy wpływające przyjmujesz jako dodatnie, a wypływające jako ujemne, wtedy korzystasz z wzoru $$\sum I=0$$,
- osobno sumujesz prądy wpływające i osobno wypływające, a potem przyrównujesz te sumy.
Dla początkujących najwygodniejsza jest druga metoda:
$$I_1+I_2=I_3+I_4$$
jeżeli \(I_1\) i \(I_2\) wpływają do węzła, a \(I_3\) i \(I_4\) z niego wypływają.
Najważniejszy wzór Kirchhoffa
W praktyce najczęściej spotkasz jeden z tych zapisów:
$$\sum I = 0$$
albo
$$\sum I_{\text{we}}=\sum I_{\text{wy}}$$
To właśnie jest podstawowy wzór Kirchhoffa dla 1. prawa.
Prosty przykład intuicyjny
Załóżmy, że do węzła wpływają dwa prądy:
$$I_1=2\text{ A}$$
$$I_2=3\text{ A}$$
Z węzła wypływa jeden prąd \(I_3\). Ile wynosi?
Z 1. prawa Kirchhoffa:
$$I_1+I_2=I_3$$
Po podstawieniu:
$$2+3=I_3$$
$$I_3=5\text{ A}$$
To znaczy, że jeśli do węzła dopływa łącznie \(5\text{ A}\), to dokładnie \(5\text{ A}\) musi z niego wypłynąć.
Przykład 1 krok po kroku
Do węzła wpływa prąd \(7\text{ A}\). Z węzła wypływają dwa prądy: \(2\text{ A}\) i \(I_x\). Oblicz \(I_x\).
Zapisujemy równanie:
$$7=2+I_x$$
Przekształcamy:
$$I_x=7-2$$
$$I_x=5\text{ A}$$
Odpowiedź: brakujący prąd wynosi \(5\text{ A}\).
Przykład 2 z kilkoma gałęziami
Do węzła wpływają prądy \(I_1=4\text{ A}\) oraz \(I_2=1{,}5\text{ A}\). Wypływają prądy \(I_3=2\text{ A}\) i \(I_4\). Oblicz \(I_4\).
Korzystamy z zależności:
$$I_1+I_2=I_3+I_4$$
Podstawiamy dane:
$$4+1{,}5=2+I_4$$
$$5{,}5=2+I_4$$
$$I_4=5{,}5-2$$
$$I_4=3{,}5\text{ A}$$
Odpowiedź: prąd \(I_4\) wynosi \(3{,}5\text{ A}\).
Przykład 3 z zapisem algebraicznym
Załóżmy, że przyjmujemy:
- prądy wpływające jako dodatnie,
- prądy wypływające jako ujemne.
Wtedy dla węzła z prądami \(3\text{ A}\), \(2\text{ A}\) i \(I_x\), gdzie dwa pierwsze wpływają, a \(I_x\) wypływa, zapisujemy:
$$3+2-I_x=0$$
Stąd:
$$5-I_x=0$$
$$I_x=5\text{ A}$$
Wynik jest oczywiście taki sam jak wcześniej. Zmienia się tylko sposób zapisu.
Tabela z najczęstszymi sytuacjami
| Sytuacja | Równanie | Wniosek |
|---|---|---|
| Jeden prąd wpływa, dwa wypływają | $$I_1=I_2+I_3$$ | Prąd wejściowy rozdziela się na dwie gałęzie |
| Dwa prądy wpływają, jeden wypływa | $$I_1+I_2=I_3$$ | Prądy sumują się w jednej gałęzi |
| Dwa wpływają, dwa wypływają | $$I_1+I_2=I_3+I_4$$ | Bilans musi być zachowany po obu stronach |
| Zapis algebraiczny | $$\sum I=0$$ | Wystarczy pilnować znaków |
Jak rozwiązywać zadania z 1. prawa Kirchhoffa?
Dobry schemat działania wygląda tak:
- Znajdź węzeł.
- Zaznacz, które prądy wpływają do węzła, a które wypływają.
- Zapisz równanie z 1. prawa Kirchhoffa.
- Podstaw wartości liczbowe.
- Oblicz niewiadomą.
- Sprawdź, czy wynik ma sens fizyczny.
Jeżeli otrzymasz wynik ujemny, to zwykle oznacza to, że rzeczywisty kierunek prądu jest przeciwny do założonego.
Typowe błędy
- mieszanie prądów wpływających i wypływających bez konsekwentnego użycia znaków,
- zły odczyt kierunków strzałek na schemacie,
- pomijanie jednej z gałęzi węzła,
- traktowanie 1. prawa Kirchhoffa jak prawa napięciowego,
- błędy rachunkowe przy prostym przekształcaniu równań.
1. prawo Kirchhoffa a 2. prawo Kirchhoffa
Początkujący często mylą te dwa prawa, dlatego warto od razu rozróżnić je bardzo jasno:
| Prawo | Dotyczy | Główna idea |
|---|---|---|
| 1. prawo Kirchhoffa | Węzła | Suma prądów wpływających równa się sumie prądów wypływających |
| 2. prawo Kirchhoffa | Oczka obwodu | Suma napięć w zamkniętej pętli wynosi zero |
W skrócie:
$$\text{1. prawo: prądy w węźle}$$
$$\text{2. prawo: napięcia w oczku}$$
Zastosowanie prawa Kirchhoffa w elektronice
1. prawo Kirchhoffa jest używane wszędzie tam, gdzie prąd rozdziela się na kilka gałęzi. Na przykład:
- w prostych obwodach szkolnych,
- w analizie połączeń równoległych,
- w układach z rezystorami,
- w zasilaczach i rozgałęzieniach obwodów,
- w projektowaniu i diagnostyce układów elektronicznych.
Jeśli w obwodzie są gałęzie równoległe, to 1. prawo Kirchhoffa praktycznie zawsze pojawia się przy obliczeniach.
Kalkulator 1. prawa Kirchhoffa
Poniższy prosty kalkulator pomaga obliczyć brakujący prąd wypływający z węzła. Wpisz sumę prądów wpływających oraz sumę znanych prądów wypływających. Kalkulator obliczy brakujący prąd.
Działanie kalkulatora opiera się bezpośrednio na wzorze:
$$I_{\text{brakujący}}=\sum I_{\text{wpływające}}-\sum I_{\text{znane wypływające}}$$
Przykład użycia kalkulatora
Jeżeli do węzła wpływa \(6\text{ A}\), a znane prądy wypływające mają łącznie \(4{,}2\text{ A}\), to brakujący prąd wynosi:
$$I_{\text{brakujący}}=6-4{,}2=1{,}8\text{ A}$$
To znaczy, że ostatnia nieznana gałąź musi odprowadzić \(1{,}8\text{ A}\), aby bilans się zgadzał.
Jak sprawdzić, czy dobrze rozumiesz temat?
Po przeczytaniu artykułu powinieneś umieć odpowiedzieć na trzy pytania:
- Czy potrafisz wskazać węzeł w obwodzie?
- Czy potrafisz rozróżnić prądy wpływające i wypływające?
- Czy potrafisz zapisać równanie $$\sum I_{\text{we}}=\sum I_{\text{wy}}$$ i obliczyć niewiadomą?
Jeśli tak, to najważniejsza część tematu została opanowana.
Podsumowanie
1. prawo Kirchhoffa jest prostą, ale bardzo ważną zasadą. Mówi, że w każdym węźle obwodu elektrycznego zachowany jest bilans prądów. W praktyce oznacza to, że:
$$\sum I_{\text{wpływające}}=\sum I_{\text{wypływające}}$$
albo równoważnie:
$$\sum I=0$$
To prawo wykorzystuje się w niemal każdym dziale podstawowej analizy obwodów. Im szybciej nauczysz się je stosować, tym łatwiej będzie Ci rozwiązywać zadania z elektroniki i elektrotechniki.