W większości zadań z geometrii analitycznej brakuje jednego elementu: prostego przepisu, jak w praktyce liczyć odległość punktu od prostej bez gubienia się w przekształceniach. Rozwiązaniem jest jeden uniwersalny wzór, z którego da się korzystać niemal „z marszu”, plus kilka schematów postępowania do najczęstszych typów zadań.
Wzór na odległość punktu od prostej – wersja do natychmiastowego użycia
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie najwygodniej korzystać z prostej zapisanej w postaci ogólnej:
Ax + By + C = 0
Dany jest punkt P(x0, y0). Wzór na odległość punktu od prostej ma postać:
d(P, l) =
\(\dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
To jest ten konkretny wzór, którego warto się nauczyć „na pamięć”. Jest używany powtarzalnie w zadaniach szkolnych i maturalnych.
Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą, czyli długość odcinka prostopadłego do danej prostej.
Skąd się bierze wzór – intuicyjne wyjaśnienie
Bez szczegółowego dowodu warto wiedzieć, co stoi za tym wzorem, bo wtedy łatwiej go stosować bez mechanicznego wkuwania.
Prosta Ax + By + C = 0 ma wektor normalny (prostopadły) n = (A, B). Wektor o tych współrzędnych zawsze jest prostopadły do prostej, niezależnie od tego, gdzie leży punkt.
Jeśli weźmie się dwa punkty: P(x0, y0) – nasz punkt oraz Q(x, y) – dowolny punkt na prostej, to:
- wektor QP łączy prostą z punktem,
- rzut wektora QP na wektor normalny n daje właśnie interesującą długość prostopadłą, czyli szukaną odległość.
W wyniku przekształceń (i znormalizowania długości wektora normalnego) pojawia się dokładnie licznik |Ax0 + By0 + C| oraz mianownik \(\sqrt{A^2 + B^2}\). Znak wartości bezwzględnej usuwa informację „po której stronie prostej” leży punkt, zostawiając tylko dodatnią długość.
Jak przygotować równanie prostej do użycia wzoru
Wzór wymaga postaci ogólnej Ax + By + C = 0. Tymczasem w zadaniach prosta najczęściej pojawia się w postaci kierunkowej lub odcinkowej. Wtedy trzeba ją przerobić.
Najczęstsze postaci prostej i przejście do formy Ax + By + C = 0
1. Postać kierunkowa: y = mx + b
Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę:
y = mx + b ⇒ mx – y + b = 0
Czyli: A = m, B = -1, C = b.
2. Postać odcinkowa: x/a + y/b = 1
Najpierw pozbycie się mianowników:
x/a + y/b = 1 ⇒ bx + ay = ab
Przeniesienie na jedną stronę:
bx + ay – ab = 0
Czyli: A = b, B = a, C = -ab.
3. Prosta opisana przez punkt i współczynnik kierunkowy:
y – y1 = m(x – x1)
Rozpisanie i przeniesienie na jedną stronę:
y – y1 = m x – m x1
m x – y – m x1 + y1 = 0
Czyli: A = m, B = -1, C = -m x1 + y1.
Istotna obserwacja: jeśli każde A, B, C zostanie pomnożone przez tę samą niezerową liczbę, wartość odległości się nie zmieni. Wynika to z tego, że w liczniku i mianowniku ten sam czynnik się skróci.
Przykład 1 – odległość punktu od prostej w prostym układzie
Obliczyć odległość punktu P(2, 3) od prostej: 2x – y + 1 = 0.
Prosta jest już w postaci ogólnej, więc wystarczy od razu podstawić dane do wzoru:
- A = 2, B = -1, C = 1
- x0 = 2, y0 = 3
Licznik:
2·2 + (-1)·3 + 1 = 4 – 3 + 1 = 2
|2| = 2
Mianownik:
\(\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)
Odległość:
d = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Czasem warto wynik zapisać w postaci bez niewymiernego mianownika:
d = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) · \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\) = \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Przykład 2 – prosta w postaci kierunkowej
Obliczyć odległość punktu P(-1, 4) od prostej: y = 3x – 2.
Najpierw przejście do postaci ogólnej:
y = 3x – 2 ⇒ 3x – y – 2 = 0
Czyli: A = 3, B = -1, C = -2.
Podstawienie do wzoru:
Licznik:
3·(-1) + (-1)·4 + (-2) = -3 – 4 – 2 = -9
|-9| = 9
Mianownik:
\(\sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\)
Odległość:
d = \(\dfrac{9}{\sqrt{10}}\) = \(\dfrac{9\sqrt{10}}{10}\)
Przykład 3 – zadanie z parametrem
Dana jest prosta (k+1)x – 2y + 3 = 0 oraz punkt P(1, -1). Znaleźć wartość parametru k, dla której odległość punktu od prostej jest równa 5.
Rozwiązanie krok po kroku
Ogólny wzór na odległość:
d = \(\dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
W tym zadaniu:
- A = k + 1
- B = -2
- C = 3
- x0 = 1, y0 = -1
Podstawienie:
5 = \(\dfrac{|(k+1)·1 + (-2)·(-1) + 3|}{\sqrt{(k+1)^2 + (-2)^2}}\)
Uproszczenie licznika:
(k + 1) + 2 + 3 = k + 6
Zatem:
5 = \(\dfrac{|k + 6|}{\sqrt{(k+1)^2 + 4}}\)
Usunięcie wartości bezwzględnej przez rozpisanie dwóch możliwości, ale najpierw podniesienie obu stron do kwadratu, żeby pozbyć się pierwiastka:
25 = \(\dfrac{(k + 6)^2}{(k+1)^2 + 4}\)
Mnożenie stronami:
25((k+1)^2 + 4) = (k + 6)^2
Rozwinięcie:
25(k^2 + 2k + 1) + 100 = k^2 + 12k + 36
25k^2 + 50k + 25 + 100 = k^2 + 12k + 36
25k^2 + 50k + 125 = k^2 + 12k + 36
Przeniesienie wszystkiego na lewą stronę:
24k^2 + 38k + 89 = 0
To równanie kwadratowe. Obliczenie wyróżnika:
Δ = 38^2 – 4·24·89 = 1444 – 4·2136 = 1444 – 8544 = -7100
Wyróżnik jest ujemny, więc równania nie da się rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że nie istnieje taka wartość parametru k, dla której odległość punktu P od tej prostej jest równa 5.
W zadaniach z parametrem często wynik „brak rozwiązań” jest jak najbardziej poprawny. Brak rzeczywistych rozwiązań oznacza po prostu, że żądana odległość jest nieosiągalna dla żadnego ustawienia prostej w danej rodzinie.
Zadania treningowe z odpowiedziami
Poniższe zadania pozwalają sprawdzić zrozumienie schematu. Warto spróbować rozwiązać je samodzielnie, a dopiero potem zerknąć na odpowiedź.
Zadanie 1
Obliczyć odległość punktu A(3, -2) od prostej o równaniu 4x + 3y – 6 = 0.
Odpowiedź: d = \(\dfrac{12}{5}\)
Szkic rozwiązania: Podstawienie do wzoru, A = 4, B = 3, C = -6; licznik: |4·3 + 3·(-2) – 6| = |12 – 6 – 6| = |0| = 0, co już pokazuje, że punkt leży na prostej. Odległość równa 0. Jeśli wynik wyszedł inny niż 0, gdzieś w rachunkach pojawił się błąd.
Po dokładnym przeliczeniu: 4·3 = 12, 3·(-2) = -6, 12 – 6 – 6 = 0, więc d = 0.
Poprzednia, „intuicyjna” odpowiedź numeryczna (12/5) jest błędna – ten przykład dobrze pokazuje, jak łatwo o pomyłkę rachunkową. W takich sytuacjach warto sprawdzić, czy punkt nie leży na prostej, podstawiając go wprost do równania prostej.
Zadanie 2
Dana jest prosta y = -2x + 5 oraz punkt B(1, 1). Obliczyć odległość punktu B od tej prostej.
Odpowiedź: d = \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
Szkic rozwiązania: y = -2x + 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0; A = 2, B = 1, C = -5; licznik: |2·1 + 1·1 – 5| = |2 + 1 – 5| = | -2 | = 2; mianownik: \(\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\); wynik: d = 2/√5 = 2√5/5.
Zadanie 3
Punkt C(0, 4). Znaleźć odległość punktu C od prostej 3x – 4y + 8 = 0.
Odpowiedź: d = \(\dfrac{8}{5}\)
Szkic rozwiązania: A = 3, B = -4, C = 8; licznik: |3·0 + (-4)·4 + 8| = |0 – 16 + 8| = |-8| = 8; mianownik: \(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\); wynik: d = 8/5.
Najczęstsze błędy przy liczeniu odległości punktu od prostej
W praktyce problemy pojawiają się nie z samym wzorem, tylko z drobnymi niedopatrzeniami. Kilka rzeczy, na które warto uważać:
- Brak wartości bezwzględnej w liczniku – daje ujemną „odległość”, co jest bez sensu fizycznie i od razu sygnalizuje błąd.
- Brak pierwiastka w mianowniku – użycie A² + B² zamiast √(A² + B²), częsty błąd przy przepisywaniu wzoru.
- Nieprzeniesienie wszystkiego na jedną stronę – np. użycie y = 2x + 3 bez zamiany na 2x – y + 3 = 0.
- Niepotrzebne komplikowanie – np. najpierw szukanie prostej prostopadłej, potem punktu przecięcia itd., zamiast prostego użycia wzoru.
Przed wstawieniem do wzoru zawsze warto na chwilę sprawdzić: czy równanie prostej ma postać Ax + By + C = 0 i czy współrzędne punktu są prawidłowo przepisane.
Połączenie ze współczynnikiem kierunkowym i prostopadłością
W praktyce zadań odległość punktu od prostej często łączy się z innymi pojęciami: współczynnikiem kierunkowym, prostymi prostopadłymi i środkiem odcinka. Typowy schemat wygląda tak:
- Dana jest prosta l i punkt P.
- Wyznaczana jest prosta m prostopadła do l, przechodząca przez P.
- Znajdowany jest punkt przecięcia Q = l ∩ m.
- Liczone jest |PQ| – i to właśnie jest odległość.
Ten schemat wynika bezpośrednio z definicji odległości, ale w 99% zadań, jeśli masz równanie prostej i współrzędne punktu, wystarczy użyć gotowego wzoru. Szukanie prostej prostopadłej i punktu przecięcia jest potrzebne raczej wtedy, gdy zadanie wprost o to prosi albo gdy trzeba narysować dokładny rysunek.
Znajomość obu podejść (wzór + konstrukcja prostopadłej) daje większą swobodę przy rozwiązywaniu bardziej rozbudowanych zadań, np. z geometrii analitycznej w trójkątach czy okręgach.