Logarytmy to jedno z tych pojęć w matematyce, które na początku wydaje się tajemnicze, ale po zrozumieniu definicji i kilku prostych wzorów staje się bardzo logiczne. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest logarytm, jakie są podstawowe wzory na logarytmy i jak je stosować w zadaniach. Pokażemy także przykłady oraz prosty wykres i kalkulator logarytmów.
Co to jest logarytm? Intuicyjna definicja
Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi muszę podnieść daną podstawę, aby otrzymać daną liczbę?
Formalna definicja:
\[
\log_a b = c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c = b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0.
\]
Czytamy: „logarytm liczby \(b\) przy podstawie \(a\) jest równy \(c\), jeśli \(a\) podniesione do potęgi \(c\) daje \(b\)”.
Przykłady z definicji
- \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\).
- \(\log_{10} 1000 = 3\), bo \(10^3 = 1000\).
- \(\log_5 1 = 0\), bo \(5^0 = 1\).
Jeśli umiesz potęgować, logarytm to po prostu „odwrócenie” potęgowania – zamiast liczyć wynik potęgi, szukasz wykładnika.
Warunki istnienia logarytmu
Nie każdy logarytm ma sens. Dla \(\log_a b\) muszą być spełnione warunki:
- \(a>0\) (podstawa dodatnia),
- \(a\neq 1\) (podstawa różna od 1),
- \(b>0\) (logarytmujemy tylko liczby dodatnie).
| Przykład | Czy ma sens? | Dlaczego? |
|---|---|---|
| \(\log_2 8\) | Tak | Podstawa \(2>0\), \(2\neq 1\), argument \(8>0\). |
| \(\log_1 5\) | Nie | Podstawa równa 1 – niedozwolona. |
| \(\log_2 (-4)\) | Nie | Argument ujemny – nie logarytmujemy liczb \(\le 0\). |
| \(\log_{-2} 8\) | Nie (w szkolnej definicji) | Podstawa ujemna – wymagana podstawa dodatnia. |
Najważniejsze wzory na logarytmy
Poniżej znajdują się kluczowe własności logarytmów, z których korzysta się w większości zadań.
1. Logarytm z 1
\[
\log_a 1 = 0
\]
Uzasadnienie: \(a^0 = 1\) dla każdego \(a>0,\ a\neq 1\).
2. Logarytm z podstawy
\[
\log_a a = 1
\]
Uzasadnienie: \(a^1 = a\).
3. Logarytm potęgi tej samej podstawy
\[
\log_a a^k = k
\]
Uzasadnienie: z definicji logarytmu \(a^k = a^k\), więc wykładnik to \(k\).
4. Wzory działań na logarytmach
Logarytm iloczynu
\[
\log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y
\]
Interpretacja: logarytm iloczynu to suma logarytmów czynników.
Logarytm ilorazu
\[
\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y
\]
Interpretacja: logarytm ilorazu to różnica logarytmów licznika i mianownika.
Logarytm potęgi
\[
\log_a (x^k) = k\log_a x
\]
Interpretacja: wykładnik można „wyciągnąć” przed logarytm.
5. Zmiana podstawy logarytmu
To jeden z najważniejszych wzorów praktycznych:
\[
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}, \quad \text{dla dowolnej podstawy } c>0,\ c\neq 1.
\]
Najczęściej wybiera się \(c=10\) albo \(c=e\) (logarytm dziesiętny lub naturalny), ponieważ takie logarytmy są dostępne w kalkulatorach.
Przykład:
\[
\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} \approx \frac{0{,}6990}{0{,}3010} \approx 2{,}32.
\]
Jak czytać zapis logarytmu?
- \(\log_2 8\) – „logarytm przy podstawie 2 z 8”.
- \(\log_{10} 100\) – „logarytm dziesiętny ze 100”.
- \(\ln x\) – oznacza \(\log_e x\), czyli logarytm naturalny (podstawa \(e\approx 2{,}71828\)).
Najczęściej używane logarytmy: dziesiętny i naturalny
Logarytm dziesiętny
To logarytm o podstawie 10:
\[
\log x \equiv \log_{10} x.
\]
Jeśli w matematyce szkolnej zobaczysz \(\log x\) bez podanej podstawy, zwykle chodzi o podstawę 10.
Logarytm naturalny
To logarytm o podstawie \(e\):
\[
\ln x \equiv \log_e x.
\]
Jest bardzo ważny w analizie matematycznej, fizyce, chemii, biologii (np. gdy opisujemy wzrost wykładniczy, rozpad promieniotwórczy, reakcje chemiczne).
Proste przykłady obliczania logarytmów
Przykład 1: logarytmy „ładnych” potęg
Oblicz: \(\log_3 27\).
Rozwiązanie: zauważamy, że \(27 = 3^3\), więc:
\[
\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3.
\]
Przykład 2: logarytm z ułamka
Oblicz: \(\log_2 \frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{8} = 2^{-3}\), więc:
\[
\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3.
\]
Przykład 3: użycie wzoru na potęgę
Oblicz: \(\log_3 9^2\).
\[
\log_3 9^2 = \log_3 (3^2)^2 = \log_3 3^4 = 4.
\]
Można też tak:
\[
\log_3 9^2 = 2\log_3 9 = 2\log_3 3^2 = 2\cdot 2 = 4.
\]
Przykład 4: zastosowanie wzoru na iloczyn
Oblicz: \(\log_2 (8\cdot 4)\).
Możemy albo obliczyć najpierw iloczyn: \(8\cdot 4 = 32\), albo użyć wzoru na iloczyn:
\[
\log_2 (8\cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5.
\]
Sprawdzenie: \(8\cdot 4 = 32 = 2^5\), więc faktycznie \(\log_2 32 = 5\).
Przykład 5: zmiana podstawy
Oblicz w przybliżeniu \(\log_3 7\) korzystając z kalkulatora z logarytmem dziesiętnym.
\[
\log_3 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 3} \approx \frac{0{,}8451}{0{,}4771} \approx 1{,}77.
\]
Rozwiązywanie równań z logarytmami
Przykład 1: proste równanie logarytmiczne
Rozwiąż równanie: \(\log_3 x = 4\).
- Przepisujemy równanie w postaci potęgowej: \(\log_3 x = 4 \iff 3^4 = x\).
- Obliczamy: \(3^4 = 81\).
Odpowiedź: \(x = 81\).
Przykład 2: logarytm po obu stronach
Rozwiąż równanie: \(\log_2 x = \log_2 5\).
Skoro podstawy logarytmów są takie same i logarytmy są równe, to:
\[
x = 5.
\]
Przykład 3: równanie z zastosowaniem wzorów
Rozwiąż równanie: \(\log_2 (x) + \log_2 (x-2) = 3\).
- Zastosuj wzór na logarytm iloczynu:
\[
\log_2 (x) + \log_2 (x-2) = \log_2 [x(x-2)].
\] - Równanie przyjmuje postać:
\[
\log_2 [x(x-2)] = 3.
\] - Przepisujemy w postaci potęgowej:
\[
x(x-2) = 2^3 = 8.
\] - Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\[
x^2 – 2x – 8 = 0.
\]
\[
\Delta = (-2)^2 – 4\cdot 1\cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\]
\[
x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2\pm 6}{2}.
\]
\[
x_1 = 4,\quad x_2 = -2.
\] - Sprawdzamy warunki: w logarytmach argumenty muszą być dodatnie:
- Dla \(x=4\): \(x=4>0\) i \(x-2=2>0\) – w porządku.
- Dla \(x=-2\): \(x=-2<0\) – niedozwolone.
Odpowiedź: \(x=4\).
Zastosowania logarytmów w matematyce i nauce
1. Skale logarytmiczne
W wielu dziedzinach używa się skal logarytmicznych, ponieważ pozwalają one wygodnie opisywać bardzo duże zakresy wartości.
- Skala decybelowa (akustyka, elektronika) – opisuje natężenie dźwięku lub mocy sygnału. Przykładowa postać:
\[
L = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right),
\]
gdzie \(I\) – natężenie, \(I_0\) – natężenie odniesienia. - Skala Richtera (sejsmologia) – opisuje magnitudę trzęsień ziemi logarytmicznie.
- pH w chemii – miara kwasowości roztworu:
\[
\mathrm{pH} = -\log_{10} [\mathrm{H}^+].
\]
2. Wzrost lub spadek wykładniczy
Jeśli coś rośnie lub maleje wykładniczo (np. liczba bakterii, kapitał na lokacie, ilość substancji promieniotwórczej), często musimy „wyciągnąć wykładnik”. Służy do tego właśnie logarytm.
Przykładowy model wzrostu kapitału:
\[
K(t) = K_0 \cdot (1+r)^t,
\]
gdzie:
- \(K(t)\) – kapitał po czasie \(t\),
- \(K_0\) – kapitał początkowy,
- \(r\) – stopa procentowa (np. 0,05 dla 5%),
- \(t\) – czas (np. w latach).
Jeśli chcemy znaleźć czas \(t\), dla którego kapitał osiągnie daną wartość \(K\), stosujemy logarytmy:
\[
K = K_0 (1+r)^t \quad \Longrightarrow \quad \frac{K}{K_0} = (1+r)^t.
\]
Logarytmujemy obustronnie (np. w podstawie 10):
\[
\log\left(\frac{K}{K_0}\right) = t\cdot \log(1+r),
\]
stąd:
\[
t = \frac{\log\left(\frac{K}{K_0}\right)}{\log(1+r)}.
\]
Prosty kalkulator logarytmów (dowolna podstawa)
Poniżej znajduje się prosty kalkulator pomagający obliczyć \(\log_a x\) dla dowolnej dodatniej podstawy \(a\neq 1\) i argumentu \(x>0\). Wewnątrz użyty jest wzór zmiany podstawy:
\[
\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.
\]
Kalkulator \(\log_a x\)
Wykres funkcji logarytmicznej
Aby lepiej zrozumieć logarytmy, warto zobaczyć, jak wygląda wykres funkcji:
\[
y = \log_{10} x.
\]
- Definiowana tylko dla \(x>0\).
- Przechodzi przez punkt \((1,0)\), ponieważ \(\log_{10} 1 = 0\).
- Dla \(0
- Wzrasta bardzo wolno dla dużych \(x\).
Typowe pułapki przy logarytmach
- Logarytm z liczby ujemnej lub zera – niedozwolony w matematyce szkolnej:
\[
\log_a x \text{ istnieje tylko dla } x>0.
\] - Podstawa równa 1 – zakazana:
\[
a\neq 1.
\] - Pominięcie sprawdzenia dziedziny w równaniach – zawsze sprawdzaj, czy wszystkie argumenty logarytmów po podstawieniu są dodatnie.
- Błędne „rozdzielanie” logarytmu sumy:
\[
\log_a (x+y) \neq \log_a x + \log_a y.
\]
Ten wzór jest nieprawdziwy. Prawdziwy jest tylko dla iloczynu i ilorazu.
Podsumowanie – co warto zapamiętać
- Definicja: \(\log_a b = c \iff a^c = b\), przy \(a>0,\ a\neq 1,\ b>0\).
- Podstawowe własności:
\[
\log_a 1 = 0,\quad \log_a a = 1,\quad \log_a a^k = k.
\] - Działania na logarytmach:
\[
\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,
\]
\[
\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y,
\]
\[
\log_a (x^k) = k\log_a x.
\] - Zmiana podstawy:
\[
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
\] - Logarytmy są niezbędne do opisu zjawisk wykładniczych i skal logarytmicznych (pH, decybele, skala Richtera).
Po opanowaniu tych wzorów i kilku przykładów logarytmy przestają być trudne – stają się naturalnym narzędziem do „wydobywania” wykładników i upraszczania obliczeń.