Wzór na współczynnik kierunkowy - przykłady i rozwiązania

Współczynnik kierunkowy to jedno z najważniejszych pojęć w geometrii analitycznej i funkcjach liniowych. Określa on, jak bardzo i w którą stronę rośnie (lub maleje) wykres prostej. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest współczynnik kierunkowy, podamy wzory, omówimy interpretację, a przede wszystkim przećwiczymy obliczenia na przykładach z rozwiązaniami.

Co to jest współczynnik kierunkowy prostej?

Współczynnik kierunkowy oznaczamy zwykle literą \(a\). Pojawia się on w równaniu prostej zapisanej w postaci kierunkowej:

\[ y = ax + b \]

gdzie:

\(y\) – wartość funkcji (współrzędna \(y\)),
\(x\) – argument (współrzędna \(x\)),
\(a\) – współczynnik kierunkowy prostej,
\(b\) – wyraz wolny (punkt przecięcia z osią \(y\)).

Intuicyjnie: współczynnik kierunkowy \(a\) mówi, jak szybko zmienia się \(y\), gdy \(x\) rośnie o 1.

Można to zapisać w skrócie:

\[ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

co czytamy: „\(a\) to przyrost \(y\) podzielony przez przyrost \(x\)”.

Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty

Bardzo często prosta zadana jest nie przez równanie, ale przez dwa punkty, np. \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\). Wtedy współczynnik kierunkowy obliczamy ze wzoru:

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}, \quad \text{dla } x_1 \neq x_2 \]

To jest dokładne rozwinięcie idei \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\):

\(\Delta y = y_2 – y_1\) – różnica współrzędnych \(y\),
\(\Delta x = x_2 – x_1\) – różnica współrzędnych \(x\).

Uwaga na dzielenie przez zero

Warunek \(x_1 \neq x_2\) jest bardzo ważny. Jeśli \(x_1 = x_2\), to mamy prostą pionową (równoległą do osi \(y\)), np. \(x = 3\). Dla takiej prostej współczynnik kierunkowy nie jest zdefiniowany, bo musielibyśmy dzielić przez zero.

Jak odczytać współczynnik kierunkowy z równania prostej?

Jeśli prosta jest zapisana w postaci kierunkowej:

\[ y = ax + b \]

to współczynnik kierunkowy to po prostu liczba stojąca przy \(x\), czyli \(a\).

Przykład 1 – odczytywanie współczynnika kierunkowego

Rozważmy równania:

\(y = 2x + 3\)
\(y = -\frac{1}{2}x – 4\)
\(y = 5\)

Odczytaj współczynnik kierunkowy każdej prostej.

Rozwiązanie:

\(y = 2x + 3 \Rightarrow a = 2\)
\(y = -\frac{1}{2}x – 4 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}\)
\(y = 5\) możemy zapisać jako \(y = 0\cdot x + 5 \Rightarrow a = 0\)

W trzecim przypadku jest to prosta pozioma – jej nachylenie wynosi 0, więc współczynnik kierunkowy jest równy 0.

Jak obliczyć współczynnik kierunkowy – przykłady krok po kroku

Przykład 2 – współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A(1, 2)\) i \(B(4, 8)\).

Krok 1. Zapisz dane

\(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\)
\(x_2 = 4\), \(y_2 = 8\)

Krok 2. Podstaw do wzoru

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{8 – 2}{4 – 1} = \frac{6}{3} = 2 \]

Odpowiedź: współczynnik kierunkowy wynosi \(a = 2\).

Przykład 3 – prosta malejąca

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(C(-2, 5)\) i \(D(1, -1)\).

Krok 1. Dane

\(x_1 = -2\), \(y_1 = 5\)
\(x_2 = 1\), \(y_2 = -1\)

Krok 2. Obliczenia

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{-1 – 5}{1 – (-2)} = \frac{-6}{3} = -2 \]

Odpowiedź: współczynnik kierunkowy wynosi \(a = -2\). Prosta jest malejąca.

Przykład 4 – prosta pozioma

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(E(0, 3)\) i \(F(5, 3)\).

Krok 1. Dane

\(x_1 = 0\), \(y_1 = 3\)
\(x_2 = 5\), \(y_2 = 3\)

Krok 2. Obliczenia

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{3 – 3}{5 – 0} = \frac{0}{5} = 0 \]

Odpowiedź: \(a = 0\). Jest to prosta pozioma \(y = 3\).

Przykład 5 – prosta pionowa (brak współczynnika kierunkowego)

Rozważ punkty \(G(2, 1)\) i \(H(2, 5)\). Oblicz współczynnik kierunkowy.

Krok 1. Dane

\(x_1 = 2\), \(y_1 = 1\)
\(x_2 = 2\), \(y_2 = 5\)

Krok 2. Obliczenia

\[ a = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{5 – 1}{2 – 2} = \frac{4}{0} \]

Nie wolno dzielić przez 0, więc współczynnik kierunkowy nie istnieje. Jest to prosta pionowa \(x = 2\).

Interpretacja współczynnika kierunkowego

Współczynnik kierunkowy możemy interpretować na kilka sposobów.

1. „Nachylenie” prostej

Jeśli \(a > 0\) – prosta jest rosnąca (kąt nachylenia między prostą a osią \(x\) jest ostry).
Jeśli \(a < 0\) – prosta jest malejąca (kąt nachylenia jest rozwarty).
Jeśli \(a = 0\) – prosta jest pozioma.

2. Ile „idę do góry”, gdy „idę w prawo o 1”

Liczbę \(a\) możemy też rozumieć jako stosunek:

\[ a = \frac{\text{zmiana } y}{\text{zmiana } x} \]

czyli:

jeśli \(a = 2\) – kiedy przesuniesz się o 1 jednostkę w prawo, \(y\) rośnie o 2 jednostki w górę,
jeśli \(a = -\frac{1}{2}\) – gdy przesuniesz się o 1 jednostkę w prawo, \(y\) spada o \(\frac{1}{2}\) jednostki.

3. Związek z kątem nachylenia prostej

Jeśli prosta tworzy z dodatnim kierunkiem osi \(x\) kąt \(\alpha\), to:

\[ a = \tan\alpha \]

czyli współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia prostej.

Tabela: przykłady współczynnika kierunkowego i typu prostej

Równanie prostej	Współczynnik kierunkowy \(a\)	Typ prostej	Opis
\(y = 3x + 1\)	\(3\)	rosnąca	przyrost \(y\) o 3, gdy \(x\) rośnie o 1
\(y = -2x + 4\)	\(-2\)	malejąca	spadek \(y\) o 2, gdy \(x\) rośnie o 1
\(y = \frac{1}{2}x – 5\)	\(\frac{1}{2}\)	rosnąca, „łagodna”	przyrost \(y\) o 0,5, gdy \(x\) rośnie o 1
\(y = -\frac{1}{3}x\)	\(-\frac{1}{3}\)	malejąca, „łagodna”	spadek \(y\) o \(\frac{1}{3}\), gdy \(x\) rośnie o 1
\(y = 7\)	\(0\)	pozioma	wartość \(y\) jest stała

Prosty wykres dwóch prostych – porównanie współczynników kierunkowych

Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres (Chart.js), który pokazuje dwie proste:

\(y = 2x + 1\) – prosta bardziej stroma (większy współczynnik kierunkowy),
\(y = 0{,}5x + 1\) – prosta mniej stroma (mniejszy współczynnik kierunkowy).

Kalkulator współczynnika kierunkowego z dwóch punktów

Poniższy prosty kalkulator pomoże Ci obliczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty \((x_1, y_1)\) i \((x_2, y_2)\).

Podaj współrzędne dwóch punktów:

x₁:
y₁:
x₂:
y₂:

Wynik: -

Zadania na współczynnik kierunkowy – z rozwiązaniami

Zadanie 1

Dana jest funkcja liniowa \(f(x) = -3x + 7\).

Podaj współczynnik kierunkowy.
Określ, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała.

Rozwiązanie:

Wzór jest w postaci \(y = ax + b\), więc \(a = -3\).
Ponieważ \(a = -3 < 0\), funkcja jest malejąca.

Zadanie 2

Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(P(-1, 4)\) i \(Q(3, -4)\).

Rozwiązanie:

\[ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Współczynnik kierunkowy wynosi \(a = -2\).

Zadanie 3

Prosta przechodzi przez punkty \(R(0, 2)\) i \(S(5, 7)\). Wyznacz równanie tej prostej w postaci \(y = ax + b\).

Krok 1. Oblicz współczynnik kierunkowy

\[ a = \frac{7 - 2}{5 - 0} = \frac{5}{5} = 1 \]

Krok 2. Znajdź wyraz wolny \(b\)

Wiesz, że dla punktu \(R(0, 2)\):

\[ y = ax + b \Rightarrow 2 = 1\cdot 0 + b \Rightarrow b = 2 \]

Wynik:

\[ y = x + 2 \]

Zadanie 4

Prosta ma współczynnik kierunkowy \(a = \frac{3}{2}\) i przechodzi przez punkt \(T(2, 1)\). Znajdź jej równanie.

Krok 1. Ogólna postać

\[ y = ax + b = \frac{3}{2}x + b \]

Krok 2. Podstaw punkt \(T(2, 1)\)

\[ 1 = \frac{3}{2}\cdot 2 + b \Rightarrow 1 = 3 + b \Rightarrow b = 1 - 3 = -2 \]

Wynik:

\[ y = \frac{3}{2}x - 2 \]

Podsumowanie – co warto zapamiętać

Współczynnik kierunkowy prostej w postaci \(y = ax + b\) to liczba \(a\).
Określa on, jak zmienia się \(y\), gdy \(x\) rośnie o 1: \(\displaystyle a = \frac{\Delta y}{\Delta x}\).
Dla dwóch punktów \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\): \(\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), przy \(x_1 \neq x_2\).
Jeśli \(a > 0\) – prosta jest rosnąca; jeśli \(a < 0\) – malejąca; jeśli \(a = 0\) – pozioma.
Dla prost pionowych (np. \(x = 3\)) współczynnik kierunkowy nie istnieje.
Współczynnik kierunkowy ma też interpretację geometryczną: \(a = \tan\alpha\), gdzie \(\alpha\) to kąt nachylenia prostej do osi \(x\).

Znajomość współczynnika kierunkowego jest kluczowa przy pracy z funkcjami liniowymi, wykresami, geometrią analityczną i wieloma zadaniami tekstowymi (np. związanymi z prędkością, kosztem w zależności od liczby sztuk, itp.).